Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która po podstawieniu czyni nierówność prawdziwą, dlatego wynikiem jest zwykle zbiór liczb zapisany jako przedział. W nierówności liniowej niewiadoma występuje w pierwszej potędze, a po uproszczeniu otrzymujemy postać $ax+b<0$, $ax+b\le0$, $ax+b>0$ albo $ax+b\ge0$.
Teoria: 6 sekcji, kliknij nagłówek, aby rozwinąć
Przekształcenia równoważne
Do obu stron można dodać lub odjąć tę samą liczbę i można je pomnożyć albo podzielić przez tę samą liczbę dodatnią bez zmiany znaku nierówności. Przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną znak trzeba odwrócić. Wynika to z porządku liczb: jeśli $a<b$, to $-a>-b$.
Operacja
Wpływ na znak
dodanie tej samej liczby
bez zmiany
mnożenie przez $c>0$
bez zmiany
mnożenie przez $c<0$
odwrócenie znaku
Metoda rozwiązania
Usuń nawiasy i mianowniki, pamiętając, przez jaką liczbę mnożysz.
Zredukuj wyrazy podobne i przenieś wyrazy z $x$ na jedną stronę.
Podziel przez współczynnik przy $x$; jeśli jest ujemny, odwróć znak.
Zapisz odpowiedź jako przedział i w razie potrzeby zaznacz ją na osi.
Po uproszczeniu może zniknąć niewiadoma. Prawdziwe zdanie, na przykład $0<5$, oznacza, że rozwiązaniem jest $\mathbb{R}$. Zdanie fałszywe, na przykład $0\ge2$, oznacza brak rozwiązań.
Rozwiązane przykłady
$4x-7\le13$, więc $4x\le20$ i $x\le5$. Zbiór rozwiązań to $(-\infty;5]$.
$-3x+2>11$, zatem $-3x>9$. Po podzieleniu przez $-3$ otrzymujemy $x<-3$.
$2(3x-1)-5<x+8$ daje $6x-7<x+8$, następnie $5x<15$, więc $x<3$.
$5(x-2)\ge5x-7$ prowadzi do $5x-10\ge5x-7$, czyli $-10\ge-7$. To zdanie fałszywe, więc zbiór rozwiązań jest pusty.
Nierówności z kilkoma warunkami
Gdy liczba ma spełniać dwa warunki jednocześnie, szukamy iloczynu zbiorów rozwiązań. Dla alternatywy „lub” bierzemy ich sumę. W zadaniu tekstowym trzeba też przeciąć wynik z naturalnymi ograniczeniami, na przykład $x\ge0$ dla długości lub liczby przedmiotów.
Typowe błędy
Brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
Podanie jednej liczby zamiast całego zbioru rozwiązań.
Użycie domkniętego końca dla znaku ostrego $<$ lub $>$.
Pomijanie sprawdzenia przypadku, w którym współczynnik przy $x$ redukuje się do zera.
Po co to się przydaje
Nierówności opisują ograniczenia: dopuszczalny koszt, zakres temperatur, minimalną liczbę punktów czy dziedzinę wyrażenia. Są też podstawą badania znaku funkcji i rozwiązywania nierówności wyższych stopni.
Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór liczb, które jednocześnie spełniają obie podane nierówności. Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do tego przedziału.
Liczby rzeczywiste $a$, $b$, $c$ spełniają warunki: $c \lt 0$ oraz $a \lt b$. Który symbol, $\lt$ czy $\gt$, należy wstawić w miejsce $\square$, aby otrzymać nierówność prawdziwą?
Szkoła organizuje wycieczkę i wybiera przewoźnika. Firma Tramp bierze za wynajem autokaru 1860 zł, a firma Wiatr 1200 zł plus 15 zł od każdego pasażera. Dla jakiej liczby pasażerów tańszy będzie przewoźnik Tramp?
Zapisz podany warunek w postaci nierówności i ją rozwiąż.
a) Jeśli potroimy liczbę naturalną $n$, od otrzymanego iloczynu odejmiemy 8, a uzyskaną różnicę pomnożymy przez 2, to otrzymamy liczbę naturalną mniejszą od 26. Podaj możliwe wartości $n$.
b) Jeśli podwoimy całkowitą liczbę ujemną $k$, do otrzymanego iloczynu dodamy 9, a następnie otrzymaną sumę pomnożymy przez 3, to otrzymamy liczbę większą od 5. Podaj możliwe wartości $k$.
c) Jeśli od połowy liczby naturalnej $m$ odejmiemy czwartą część liczby $m$ powiększonej o 2, to otrzymamy liczbę mniejszą od 2. Podaj możliwe wartości $m$.
d) Jeśli liczbę naturalną $n$ pomnożymy przez 5, a od wyniku odejmiemy 12, to otrzymamy liczbę ujemną. Podaj możliwe wartości $n$.
e) Jeśli do trzykrotności całkowitej liczby ujemnej $k$ dodamy 20, a sumę podzielimy przez 2, to otrzymamy liczbę dodatnią mniejszą od 7. Podaj możliwe wartości $k$.
f) Jeśli od liczby naturalnej $m$ odejmiemy jej trzecią część, a wynik zwiększymy o 4, to otrzymamy liczbę mniejszą od 10. Podaj możliwe wartości $m$.
