Prosta na płaszczyźnie – postać ogólna i kierunkowa

W równaniu $y=ax+b$ liczba $a$ jest współczynnikiem kierunkowym, a $b$ wyrazem wolnym. Prosta przecina oś $OY$ w punkcie $(0,b)$. Jeśli znamy $a$ i jeden punkt $(x_0,y_0)$, możemy użyć postaci punktowej $y-y_0=a(x-x_0)$, a następnie przekształcić ją do wybranej postaci.

Dla punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$ z $x_1\neq x_2$ obliczamy $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Następnie podstawiamy jeden punkt do $y=ax+b$. Gdy $x_1=x_2$, prosta jest pionowa i ma równanie $x=x_1$; nie jest wykresem funkcji $y=f(x)$.

Równanie $Ax+By+C=0$ można, gdy $B\neq0$, przekształcić do postaci $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$. Wtedy współczynnik kierunkowy wynosi $-\frac{A}{B}$. Równania otrzymane przez pomnożenie wszystkich współczynników przez tę samą liczbę różną od zera opisują tę samą prostą.

Aby znaleźć przecięcie z osią $OX$, podstawiamy $y=0$. Dla osi $OY$ podstawiamy $x=0$. Metoda działa zarówno w postaci kierunkowej, jak i ogólnej. Trzeba jednak sprawdzić, czy otrzymane równanie ma rozwiązanie.

1. Prosta przez $(1,2)$ o współczynniku $3$ ma równanie $y-2=3(x-1)$, czyli $y=3x-1$.
2. Przez punkty $(-2,1)$ i $(4,4)$ przechodzi prosta o $a=\frac{3}{6}=\frac12$, więc $y=\frac12x+2$.
3. Równanie $2x-3y+6=0$ daje $y=\frac23x+2$.
4. Prosta przez punkty $(5,-1)$ i $(5,7)$ ma równanie $x=5$.

Punkt należy do prostej, gdy jego współrzędne spełniają równanie. Dla $3x+2y-8=0$ punkt $(2,1)$ należy do prostej, bo $6+2-8=0$. To prosty sposób kontrolowania wyprowadzonego równania.

• Próba zapisania pionowej prostej jako $y=ax+b$.
• Odwrócenie różnic tylko w liczniku albo tylko w mianowniku wzoru na $a$.
• Uznanie proporcjonalnych równań ogólnych za różne proste.
• Brak sprawdzenia punktu po obliczeniu równania.

Równania prostych służą do opisu krawędzi figur, tras, zależności liniowych i warunków geometrycznych. Są też pomostem między algebrą a geometrią analityczną.

Równanie kierunkowe $y = ax + b$ od razu pokazuje nachylenie prostej i punkt przecięcia z osią $OY$, ale nie opisuje
prostych pionowych. Równanie ogólne $Ax + By + C = 0$ (gdzie $A \ne 0$ lub $B \ne 0$) opisuje każdą prostą na
płaszczyźnie, w tym pionową.

Prosta pionowa ma równanie $x = c$, czyli ogólnie $x – c = 0$ (tu $B = 0$). Nie jest wykresem żadnej funkcji, bo
jednemu argumentowi odpowiadałoby nieskończenie wiele wartości. Prosta pozioma ma równanie $y = c$, czyli $y – c = 0$
(tu $A = 0$), i jest wykresem funkcji stałej.

Z kierunkowej do ogólnej: przenosimy wszystko na jedną stronę i, jeśli trzeba, mnożymy przez wspólny mianownik, żeby
pozbyć się ułamków. Z ogólnej do kierunkowej: wyznaczamy $y$, co da się zrobić tylko wtedy, gdy $B \ne 0$.

Jedna prosta ma nieskończenie wiele równań ogólnych, bo każde z nich można pomnożyć przez liczbę różną od zera.
Dlatego równania $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ i $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ opisują tę samą prostą dokładnie wtedy, gdy ich
współczynniki są proporcjonalne: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ (przy założeniu, że
$A_2$, $B_2$ i $C_2$ są różne od zera). Najprościej jednak sprowadzić oba równania do postaci kierunkowej i porównać.