Wielokąty podobne mają ten sam kształt: odpowiednie kąty są równe, a długości odpowiednich boków pozostają w stałym stosunku. Ten stały stosunek nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy zwykle literą $k$.
Odpowiedniość wierzchołków
W zapisie $ABCDE\sim KLMNO$ kolejność liter określa pary odpowiadających sobie wierzchołków. Zatem bok $AB$ odpowiada $KL$, $BC$ odpowiada $LM$, a kąt $C$ odpowiada kątowi $M$. Błędne ustawienie kolejności prowadzi do niepoprawnej skali.
Skala podobieństwa
Jeżeli drugi wielokąt jest podobny do pierwszego w skali $k$, to każda jego długość liniowa odpowiadająca długości w pierwszym wielokącie jest $k$ razy większa. Dla $k\gt 1$ figura jest powiększona, dla $0\lt k\lt 1$ pomniejszona, a dla $k=1$ wielokąty są przystające.
Obwody i pola
| Wielkość | Zmiana przy skali $k$ |
|---|---|
| długość boku, przekątnej, wysokości | mnożymy przez $k$ |
| obwód | mnożymy przez $k$ |
| pole | mnożymy przez $k^2$ |
Jeżeli stosunek pól wynosi $9:25$, to stosunek odpowiadających długości wynosi $3:5$, a nie $9:25$. Przy przechodzeniu od pól do długości trzeba wyciągnąć dodatni pierwiastek.
Dlaczego pola zmieniają się z kwadratem skali
Gdy wszystkie długości mnożymy przez $k$, dwa niezależne wymiary potrzebne do obliczenia pola również są mnożone przez $k$. Dla prostokąta pole zmienia się z $ab$ na $(ka)(kb)=k^2ab$. Dla dowolnego wielokąta można zastosować podział na trójkąty i ten sam argument do każdej części.
Rozwiązane przykłady
- Odpowiadające boki mają długości $6$ i $15$, więc skala drugiego wielokąta względem pierwszego wynosi $k=\frac{15}{6}=\frac52$.
- Jeżeli obwód pierwszego wielokąta wynosi $28$, a skala drugiego $k=\frac32$, to jego obwód wynosi $42$.
- Przy skali $k=4$ pole rośnie $16$ razy.
- Jeżeli pola podobnych figur wynoszą $72$ i $128$, to stosunek pól jest $9:16$, więc skala długości wynosi $3:4$.
Zastosowania
Podobieństwo wielokątów pojawia się w planach, mapach, modelach, powiększeniach graficznych i fotografii. Skala mapy dotyczy długości, dlatego pola obszarów zmieniają się z kwadratem mianownika skali. Model wykonany w skali $1:20$ ma długości dwudziestokrotnie mniejsze, ale pola czterystukrotnie mniejsze od pól odpowiadających powierzchni obiektu.
Typowe błędy
- Porównywanie nieodpowiadających boków.
- Stosowanie skali $k$ do pól zamiast $k^2$.
- Wnioskowanie o podobieństwie tylko z równości pól.
- Pomijanie kolejności w zapisie podobieństwa.
Zadania
Zadanie 1
Trapez $A'B'C'D'$ o obwodzie równym 42 jest podobny do trapezu prostokątnego $ABCD$ przedstawionego na rysunku. Oblicz długości boków trapezu $A'B'C'D'$.
Zadanie 2
Oblicz skalę podobieństwa kwadratu $K_1$ o boku 6 cm do kwadratu $K_2$:
Zadanie 3
Prostokąty $P_1$ i $P_2$ są podobne, przy czym pole prostokąta $P_1$ jest równe 150 cm². Oblicz skalę podobieństwa prostokąta $P_2$ do prostokąta $P_1$ oraz pole prostokąta $P_2$.
Zadanie 4
Prostokąt $A'B'C'D'$ jest podobny do prostokąta $ABCD$ przedstawionego na rysunku. Obwód prostokąta $A'B'C'D'$ jest równy $30 + 30\sqrt{3}$. Oblicz skalę podobieństwa tych figur.
Zadanie 5
Dany jest prostokąt $P$ o bokach długości 10 cm i 6 cm. Oblicz obwód prostokąta $P'$ w przypadku, gdy:
Zadanie 6
Przekątne deltoidu $ABCD$ mają długości $|AC| = 18$ cm i $|BD| = 12$ cm. Oblicz pole powierzchni latawca mającego kształt deltoidu podobnego do deltoidu $ABCD$, przy założeniu, że wymiary latawca są trzy razy większe.
Zadanie 7
Wielokąt $F_1$ jest podobny do wielokąta $F_2$ w skali $\frac{5}{6}$. Stosunek pól wielokątów podobnych $F_2$ i $F_3$ jest równy $\frac{9}{4}$. Oblicz skalę podobieństwa wielokąta $F_3$ do $F_1$.
Zadanie 8
Działka budowlana o powierzchni 544 m² ma kształt trapezu o podstawach 18 m i 50 m. Działkę tę podzielono prostą równoległą do podstaw trapezu na dwie działki będące trapezami podobnymi. Oblicz pole każdej z nowo powstałych działek.
Zadanie 9
Trapez o podstawach długości 2 cm i 8 cm podzielono prostą równoległą do podstaw na dwa trapezy podobne. Oblicz skalę podobieństwa otrzymanych trapezów.
Zadanie 10
Przekątne trapezu o podstawach $AB$ i $CD$ oraz wysokości równej 14 przecinają się w punkcie $P$. Stosunek pola trójkąta $ABP$ do pola trójkąta $CDP$ jest równy $\frac{16}{9}$. Oblicz odległości punktu $P$ od podstaw trapezu.
Zadanie 11
Dany jest równoległobok $R_1$, którego boki mają długości 5 cm i 13 cm. Jedna z przekątnych tego równoległoboku jest prostopadła do jego krótszych boków. Równoległobok $R_2$ o polu 540 cm² jest podobny do równoległoboku $R_1$. Oblicz obwód równoległoboku $R_2$.
Zadanie 12
Dwa kwadraty o przekątnych długości $d_1$ i $d_2$ są podobne w skali $k = \sqrt{3}$ oraz wiadomo, że $d_1 + d_2 = 6$. Oblicz sumę obwodów tych kwadratów.
Zadanie 13
Rozwiąż zadania o sumie pól figur podobnych.
Zadanie 14
Trzy odbitki zdjęć mają kształt podobnych prostokątów $P_1$, $P_2$ i $P_3$. Pole prostokąta $P_2$ jest o 21% większe od pola prostokąta $P_1$, a pole prostokąta $P_3$ jest o 96% większe od pola prostokąta $P_1$. Wymiary prostokąta $P_2$ są równe 22 cm na 33 cm. Oblicz wymiary prostokąta $P_3$.
Zadanie 15
Prostokąt o bokach długości 4 cm i 10 cm jest podobny do prostokąta o obwodzie 42 cm. Oblicz pole większego prostokąta.
Zadanie 16
W trójkącie prostokątnym $ABC$, którego przeciwprostokątna $AB$ ma długość 20, poprowadzono wysokość $CD$. Stosunek pól trójkątów $ADC$ i $BCD$ jest równy 9. Oblicz obwód trójkąta $ABC$.
Zadanie 17
Rozwiąż zadania o trójkątach i rombach podobnych.
Zadanie 18
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o bokach długości 5 cm, 12 cm i 13 cm. Trójkąt $A'B'C'$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w skali $k = \frac{13}{12}$. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną w każdym z tych trójkątów oraz sumę ich obwodów.
Zadanie 19
Rozwiąż zadania o rombach podobnych.
Zadanie 20
Trapez o wysokości równej 14 cm i podstawach długości 4 cm i 25 cm podzielono prostą równoległą do podstaw na dwa trapezy podobne. Oblicz pole każdego z trapezów otrzymanych w wyniku tego podziału.