Wykres funkcji $f$ jest zbiorem wszystkich punktów $(x,f(x))$, gdzie $x$ należy do dziedziny funkcji. Szkic nie musi przedstawiać każdego punktu z dokładnością techniczną, ale musi zachowywać dziedzinę, charakterystyczne punkty, kształt i zachowanie funkcji.
Teoria: 8 sekcji, kliknij nagłówek, aby rozwinąć
Od wzoru do wykresu
Najpierw ustalamy dziedzinę. Następnie wybieramy argumenty, dla których łatwo obliczyć wartości, i tworzymy tabelę. Zaznaczone punkty łączymy tylko wtedy, gdy dziedzina oraz rodzaj funkcji uzasadniają ciągłą linię. Jeżeli dziedziną jest zbiór kilku liczb, wykres składa się wyłącznie z pojedynczych punktów.
Punkty charakterystyczne
Przy szkicowaniu warto znaleźć miejsca zerowe, punkty przecięcia z osią $OY$, wartości na końcach przedziałów i punkty, w których zmienia się wzór. Dla funkcji $f(x)=|x-2|$ punkt $(2,0)$ jest wierzchołkiem. Dla funkcji określonej przedziałami trzeba osobno narysować każdą część i prawidłowo zaznaczyć, czy końce przedziałów należą do dziedziny.
Funkcja określona różnymi wzorami
Jeżeli $f(x)=x+1$ dla $x\lt 0$ oraz $f(x)=x^2$ dla $x\ge 0$, to pierwszą część rysujemy tylko na lewo od zera, a drugą od zera w prawo. W punkcie granicznym przy pierwszym wzorze zaznaczamy kółko puste, a przy drugim punkt pełny. Wartości granicznych nie wolno dopisywać „z rozpędu”.
Wykres z opisu lub tabeli
Z opisu słownego trzeba najpierw przełożyć zależność na pary argument-wartość. W tabeli sprawdzamy, czy odstępy między argumentami są jednakowe i czy dane sugerują znany typ zależności. Kilka punktów nie dowodzi jeszcze, że funkcja ma określony wzór, chyba że treść zadania go narzuca.
Rozwiązane przykłady
Dla $f(x)=2x-1$ wystarczą dwa punkty, na przykład $(0,-1)$ i $(2,3)$, ponieważ wykresem jest prosta.
Dla $g(x)=x^2-4$ zaznaczamy między innymi $(-2,0)$, $(0,-4)$ i $(2,0)$. Symetria względem osi $OY$ pomaga uzupełnić szkic.
Dla $h(x)=\frac{1}{x}$ dziedziną jest $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Wykres ma dwie gałęzie i nie przecina osi.
Dla funkcji $p(x)=3$ określonej na $[-2;4]$ wykresem jest poziomy odcinek od $(-2,3)$ do $(4,3)$ z oboma końcami należącymi do wykresu.
Kontrola poprawności
Każda pionowa prosta może przeciąć wykres najwyżej raz.
Rzut wykresu na oś $OX$ powinien odpowiadać dziedzinie.
Punkt $(x,y)$ leży na wykresie wtedy i tylko wtedy, gdy $y=f(x)$.
Otwarte i domknięte końce muszą zgadzać się z nierównościami w definicji.
Typowe błędy
Łączenie punktów przy dziedzinie dyskretnej.
Rysowanie wartości dla argumentów wykluczonych z dziedziny.
Mylenie punktu $(x,f(x))$ z $(f(x),x)$.
Pomijanie zmiany wzoru w funkcji określonej przedziałami.
Po co to się przydaje
Szkic pozwala szybko przewidzieć liczbę rozwiązań równania, znak funkcji, największe i najmniejsze wartości oraz przedziały monotoniczności. Jest też podstawą interpretacji modeli opisujących ruch, koszty i zależności geometryczne.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f: D \to \mathbb{R}$ danej wzorem $f(x) = x + 1$, gdzie $D = [-2; 3] \setminus \{0, 1\}$. Naszkicuj wykres funkcji $g: D_g \to \mathbb{R}$ określonej tym samym wzorem.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ określonej wzorem $f(x) = |2x|$. Naszkicuj wykres funkcji $g(x) = |2x|$ o podanej dziedzinie $D$.
