Monotoniczność – kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje

Funkcja $f$ jest rosnąca w zbiorze $A\subseteq D_f$, jeżeli dla każdych $x_1,x_2\in A$ z warunku $x_1\lt x_2$ wynika $f(x_1)\lt f(x_2)$. Jest malejąca, jeżeli $x_1\lt x_2$ pociąga $f(x_1)\gt f(x_2)$. Jest stała, gdy dla dowolnych $x_1,x_2\in A$ zachodzi $f(x_1)=f(x_2)$.

W ścisłej definicji funkcji rosnącej wartości muszą rzeczywiście wzrastać. Jeżeli dopuszczamy równość $f(x_1)\le f(x_2)$, mówimy o funkcji niemalejącej. Analogicznie funkcja nierosnąca spełnia $f(x_1)\ge f(x_2)$. Funkcja stała jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca, ale nie jest rosnąca ani malejąca w sensie ścisłym na przedziale zawierającym co najmniej dwa punkty.

Patrzymy na wykres od lewej do prawej. Gdy wykres się wznosi, funkcja rośnie; gdy opada, maleje; gdy biegnie poziomo, jest stała. Przy zmianie kierunku dzielimy dziedzinę na przedziały. Końce przedziałów monotoniczności mogą należeć do obu sąsiednich przedziałów, jeśli nie narusza to definicji.

Dla prostych wzorów porównujemy $f(x_1)$ i $f(x_2)$. Dla funkcji liniowej $f(x)=ax+b$ różnica wynosi $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$. Ponieważ dla $x_2\gt x_1$ mamy $x_2-x_1\gt 0$, o monotoniczności decyduje znak $a$.

1. Funkcja $f(x)=4x-7$ jest rosnąca na $\mathbb{R}$, bo dla $x_2\gt x_1$ różnica $f(x_2)-f(x_1)=4(x_2-x_1)\gt 0$.
2. Funkcja $g(x)=-3x+2$ jest malejąca na $\mathbb{R}$.
3. Funkcja $h(x)=x^2$ maleje na $(-\infty;0]$ i rośnie na $[0;\infty)$. Nie jest monotoniczna na całej $\mathbb{R}$.
4. Funkcja $p(x)=5$ jest stała na każdym podzbiorze swojej dziedziny.

Definicja działa również dla zbiorów złożonych z pojedynczych punktów. Dla dziedziny $\{-2,0{,}3\}$ porównujemy tylko argumenty należące do tego zbioru. Nie wolno oceniać zachowania między nimi, jeśli funkcja nie jest tam określona.

• Podawanie samych słów „rośnie” lub „maleje” bez przedziału.
• Ocenianie funkcji po jednym fragmencie wykresu.
• Mylenie dodatnich wartości funkcji z rosnącą funkcją.
• Pomijanie różnicy między monotonicznością ścisłą i słabą.

Monotoniczność pozwala określić, czy wraz ze wzrostem jednej wielkości druga rośnie czy maleje. Ułatwia też znajdowanie ekstremów, rozwiązywanie nierówności i ocenę liczby rozwiązań równań.