Dwusieczna kąta w trójkącie

Dłuższemu bokowi przyległemu do dzielonego kąta odpowiada dłuższa część boku przeciwległego. Jeżeli $AB\gt AC$, to $BD\gt DC$. W trójkącie równoramiennym $AB=AC$, dlatego $BD=DC$: dwusieczna kąta między ramionami jest środkową.

Gdy znamy długość $BC$ i stosunek $AB:AC=m:n$, zapisujemy $BD=mq$, $DC=nq$. Z równania $(m+n)q=BC$ wyznaczamy $q$. Jeżeli znamy jedną część boku, korzystamy bezpośrednio z proporcji $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

Jeżeli punkt $D$ leży na boku $BC$ i spełnia $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$, to odcinek $AD$ jest dwusieczną kąta $A$. Pozwala to rozstrzygać, czy narysowany odcinek rzeczywiście dzieli kąt na połowy.

Trójkąty $ABD$ i $ACD$ mają podstawy $BD$ i $DC$ leżące na tej samej prostej oraz wspólną wysokość opuszczoną z $A$, więc stosunek ich pól wynosi $\frac{BD}{DC}$. Z drugiej strony punkt leżący na dwusiecznej jest jednakowo odległy od ramion kąta. Traktując $AB$ i $AC$ jako podstawy, otrzymujemy ten sam stosunek pól równy $\frac{AB}{AC}$. Porównanie obu zapisów daje twierdzenie.

1. Jeśli $AB=10$, $AC=15$ i $BC=20$, to $BD:DC=2:3$. Otrzymujemy $BD=8$ i $DC=12$.
2. Dla $BD=6$, $DC=9$ oraz $AB=8$ mamy $\frac{8}{AC}=\frac{6}{9}$, więc $AC=12$.
3. Jeżeli $AB=AC$ i $AD$ jest dwusieczną, to $BD=DC$.
4. Gdy $AB:AC=5:7$ i $BD:DC=10:14$, z twierdzenia odwrotnego wynika, że $AD$ jest dwusieczną.

Twierdzenie o dwusiecznej często występuje razem z podobieństwem, twierdzeniem Talesa i własnościami trójkąta równoramiennego. W bardziej złożonym zadaniu najpierw ustala się proporcje z dwusiecznej, a potem wykorzystuje obwód, sumę odcinków albo skalę podobieństwa.

Po obliczeniu części boku sprawdzamy dwie rzeczy: ich suma musi być równa długości całego boku, a większa część powinna odpowiadać dłuższemu z boków $AB$ i $AC$. Taka kontrola szybko ujawnia odwróconą proporcję.

• Zamiana par odpowiadających boków w proporcji.
• Stosowanie twierdzenia do dowolnego odcinka z wierzchołka.
• Zapominanie, że $BD+DC=BC$.
• Wnioskowanie, że dwusieczna zawsze jest wysokością.