Wykres pozwala odczytać dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, znak, monotoniczność i wartości największe lub najmniejsze funkcji. Każdą własność odczytujemy z innego rzutu albo położenia wykresu, dlatego nie należy mieszać informacji z osi $OX$ i $OY$.
Dziedzina i zbiór wartości
Dziedzina jest rzutem wykresu na oś $OX$. Zbiór wartości jest rzutem na oś $OY$. Pełne punkty oznaczają, że wartość końcowa należy do zbioru, a puste, że jest wyłączona. Jeżeli wykres biegnie dalej bez ograniczenia, zapisujemy odpowiedni przedział nieograniczony.
Miejsca zerowe i znak funkcji
Miejsca zerowe to współrzędne $x$ punktów przecięcia wykresu z osią $OX$. Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią, a ujemna tam, gdzie leży pod nią. W miejscach zerowych nie jest ani dodatnia, ani ujemna.
Monotoniczność
Czytamy wykres od lewej do prawej i wyznaczamy przedziały wzrostu, spadku oraz stałości. Punkt, w którym wykres zmienia kierunek, może być lokalnym maksimum albo minimum. Trzeba odróżnić wartość ekstremalną, czyli współrzędną $y$, od argumentu, dla którego jest osiągana.
Wartość największa i najmniejsza
Wartość największa jest najwyższą osiągniętą współrzędną $y$, a najmniejsza najniższą. Jeżeli wykres tylko zbliża się do pewnego poziomu, ale go nie osiąga, nie ma tam wartości ekstremalnej. Na nieograniczonej dziedzinie funkcja może nie mieć wartości największej lub najmniejszej.
Rozwiązane przykłady
- Jeśli wykres jest odcinkiem od $(-2,3)$ do $(4,-1)$, dziedziną jest $[-2;4]$, a zbiorem wartości $[-1;3]$.
- Jeśli wykres przecina oś $OX$ w punktach o odciętych $-1$ i $5$, to miejsca zerowe wynoszą $-1$ i $5$.
- Dla wykresu leżącego nad osią na $(-3;2)$ i pod osią na $(2;6]$ zapisujemy $f(x)\gt 0$ dla $x\in(-3;2)$ oraz $f(x)\lt 0$ dla $x\in(2;6]$.
- Jeżeli najwyższy punkt wykresu to $(1,7)$, funkcja przyjmuje wartość największą $7$ dla argumentu $1$.
Jak opisywać wykres łamany
Przy wykresie wyznaczonym przez kolejne wierzchołki zapisujemy osobno każdy odcinek. Na przykład dla punktów $(-3,1)$, $(0{,}4)$, $(2,4)$, $(5,-2)$ funkcja rośnie na $[-3;0]$, jest stała na $[0;2]$ i maleje na $[2;5]$. Jej wartość największa wynosi $4$ i jest osiągana dla wszystkich $x\in[0;2]$.
Typowe błędy
- Podawanie punktu zamiast miejsca zerowego.
- Odczytywanie dziedziny z osi pionowej.
- Włączanie pustego końca przedziału.
- Mylenie wartości największej z argumentem maksimum.
- Traktowanie przerwy w wykresie jak fragmentu, na którym funkcja jest stała.
Po co to się przydaje
Wykres często jest szybszym źródłem informacji niż wzór. Pozwala porównywać modele, wskazywać okresy wzrostu i spadku, oceniać dopuszczalne dane oraz rozwiązywać równania i nierówności graficznie.
Zadania
Zadanie 1
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ danej wzorem $f(x) = |x| - 3$. Dla funkcji $g: D \to \mathbb{R}$ określonej tym samym wzorem podaj wartości największą i najmniejszą oraz argumenty, dla których są one przyjmowane.
Zadanie 2
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ danej wzorem $f(x) = -\frac{1}{2}x + 2$. Podaj zbiór wartości funkcji, której dziedziną jest zbiór $D$, określonej tym samym wzorem.
Zadanie 3
Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = \frac{1}{3}x + 2$ o dziedzinie $D$. Odczytaj z wykresu zbiór wartości tej funkcji.
Zadanie 4
Z wykresu funkcji $f: [-4; 4] \to \mathbb{R}$ odczytaj jej miejsca zerowe oraz zbiory rozwiązań nierówności $f(x) \gt 0$ i $f(x) \geqslant 0$.
Zadanie 5
Na rysunku obok przedstawiono wykresy funkcji $f(x) = x^3$ i $g(x) = 4x$. Odczytaj z wykresów:
Zadanie 6
Naszkicuj wykres dowolnej funkcji $f: [-3; 5] \to \mathbb{R}$, której zbiór wartości jest równy:
Zadanie 7
Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Odczytaj z wykresu:
Zadanie 8
Podany zbiór jest zbiorem wartości funkcji $f(x) = 3x + 3$. Określ dziedzinę tej funkcji.
Zadanie 9
Odczytaj z wykresu funkcji $f$ jej dziedzinę, zbiór wartości, najmniejszą wartość i największą wartość oraz argumenty, dla których są one przyjmowane.
Zadanie 10
Naszkicuj wykres funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, a następnie odczytaj z niego rozwiązanie równania $f(x) = 1$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f(x) \geqslant 1$.