Liczby niewymierne

Pierwiastek kwadratowy z dodatniej liczby całkowitej jest wymierny tylko wtedy, gdy liczba pod pierwiastkiem jest kwadratem liczby całkowitej. Dlatego $\sqrt{49}=7$ jest wymierne, ale $\sqrt{7}$ jest niewymierne. Po uproszczeniu wyrażenia może się jednak okazać, że pierwiastek znika, na przykład $\sqrt{18}=3\sqrt2$ nadal jest niewymierne, natomiast $\sqrt{12}\cdot\sqrt3=6$ jest wymierne.

Suma lub iloczyn liczb niewymiernych nie musi być niewymierny. Przykładowo $\sqrt2+(-\sqrt2)=0$, a $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$. Pewne reguły są jednak stałe: suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna, a iloczyn niezerowej liczby wymiernej i niewymiernej również jest niewymierny.

W obliczeniach często zostawiamy wynik dokładny z pierwiastkiem. Przybliżenie dziesiętne stosujemy dopiero wtedy, gdy wymaga tego kontekst. Na przykład $5\sqrt2$ jest wartością dokładną, a $7{,}07$ tylko przybliżeniem.

Aby wykazać, że $\sqrt2$ jest niewymierne, zakładamy przeciwnie, że $\sqrt2=\frac pq$ w postaci nieskracalnej. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $p^2=2q^2$, więc $p$ jest parzyste. Zapisujemy $p=2k$, skąd $q^2=2k^2$, czyli także $q$ jest parzyste. Licznik i mianownik miałyby wspólny dzielnik $2$, co przeczy nieskracalności ułamka.

1. $\sqrt{50}-2\sqrt8=5\sqrt2-4\sqrt2=\sqrt2$.
2. $\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$ po usunięciu niewymierności z mianownika.
3. Przekątna kwadratu o boku $6$ ma długość $6\sqrt2$.
4. Liczba $4-3\sqrt5$ jest niewymierna, bo gdyby była wymierna, to $3\sqrt5$ i następnie $\sqrt5$ byłyby wymierne.

• Uznawanie każdego zapisu z pierwiastkiem za niewymierny.
• Stosowanie nieprawdziwej równości $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$.
• Zastępowanie dokładnej wartości przybliżeniem zbyt wcześnie.
• Zakładanie, że suma dwóch niewymiernych zawsze jest niewymierna.

Liczby niewymierne pojawiają się w geometrii, trygonometrii i pomiarach. Rozumienie dowodu niewymierności uczy pracy z założeniem przeciwnym i świadomego odróżniania wyniku dokładnego od przybliżonego.

Grecy zauważyli, że przekątna kwadratu o boku $1$ nie daje się zapisać jako ułamek. Z twierdzenia Pitagorasa
$c^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, więc $c = \sqrt{2}$.

Gdyby $\sqrt{2}$ było ułamkiem $\frac{m}{k}$, to po podniesieniu do kwadratu dostalibyśmy $2k^2 = m^2$.
W rozkładzie na czynniki pierwsze liczba $2$ występuje w $m^2$ parzystą liczbę razy, a w $2k^2$ nieparzystą, więc taka
równość jest niemożliwa. To rozumowanie nazywa się dowodem przez sprowadzenie do sprzeczności.

Niewymierność nie oznacza, że liczby nie da się wskazać. Wystarczy odłożyć na osi przeciwprostokątną trójkąta
prostokątnego o przyprostokątnych $1$ i $1$.

Punkt $P$ odpowiada dokładnie liczbie $\sqrt{2} \approx 1{,}414$. Tym samym sposobem (przyprostokątne $2$ i $1$)
zaznaczymy $\sqrt{5}$, a przyprostokątne $3$ i $1$ dają $\sqrt{10}$.