Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Przejdź do zadań

Wyłączanie wspólnego czynnika (jednomianu) przed nawias jest odwróceniem mnożenia sumy przez jednomian i służy do przedstawiania wyrażenia w postaci iloczynu. Korzystamy z rozdzielności: $a(b+c)=ab+ac$. W drugą stronę otrzymujemy $ab+ac=a(b+c)$.

Teoria: 7 sekcji, kliknij nagłówek, aby rozwinąć

Jak wybrać wspólny czynnik

Dla współczynników liczbowych wybieramy ich największy wspólny dzielnik, a dla każdej litery – najmniejszy wykładnik występujący we wszystkich wyrazach. Na przykład w wyrażeniu $18x^3y-24x^2y^2$ wspólnym czynnikiem jest $6x^2y$, więc:

$$18x^3y-24x^2y^2=6x^2y(3x-4y).$$

Nie zawsze trzeba wyłączać największy możliwy czynnik, lecz taki wybór daje najprostszą postać nawiasu. Jeżeli pierwszy wyraz ma znak ujemny, często warto wyłączyć czynnik ujemny, aby pierwszy składnik w nawiasie był dodatni.

Kontrola wyniku

Po rozkładzie mnożymy czynnik przez każdy składnik nawiasu. Musimy otrzymać dokładnie wyrażenie początkowe. Wyłączanie jest możliwe także przy ułamkach i potęgach: z $\frac32a^4-\frac94a^2$ można wyłączyć $\frac34a^2$.

Rozwiązane przykłady

$15x+20=5(3x+4)$, bo wspólnym dzielnikiem współczynników jest $5$.
$12a^3b^2-8a^2b=4a^2b(3ab-2)$.
$-6x^2+9x=-3x(2x-3)$. Wyłączenie $-3x$ daje dodatni pierwszy składnik w nawiasie.
$5m(n-2)+3(n-2)=(n-2)(5m+3)$. Wspólnym czynnikiem może być całe wyrażenie w nawiasie.

Zastosowania

Postać iloczynowa ułatwia skracanie ułamków algebraicznych, rozwiązywanie równań przez zasadę iloczynu zerowego oraz dowody podzielności. Na przykład $7n^2+14n=7n(n+2)$ jest podzielne przez $7$ dla każdego całkowitego $n$. W geometrii wyłączenie wspólnego czynnika może ujawnić wspólny wymiar kilku pól.

Wyłączanie czynnika z grup wyrazów

Gdy cały wielomian nie ma jednego wspólnego jednomianu, czasem dzielimy go na grupy. Przykładowo $ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$. Najpierw pojawia się wspólny nawias, a dopiero potem wyłączamy go jako czynnik. Tę technikę stosujemy tylko wtedy, gdy grupowanie rzeczywiście tworzy identyczne czynniki.

Typowe błędy

Dzielenie przez wspólny czynnik tylko niektórych wyrazów.
Wyłączanie zbyt wysokiej potęgi litery, która nie występuje w każdym składniku.
Gubienie znaku minus po wyłączeniu liczby ujemnej.
Traktowanie sumy jako czynnika bez sprawdzenia, czy występuje w każdym wyrazie.

Po co to się przydaje

Rozkład na czynniki jest jedną z najważniejszych technik algebry. Łączy rachunki na wyrażeniach z równaniami, funkcją kwadratową i dowodami. Dobra kontrola przez wymnożenie pozwala szybko wykryć błąd znaku lub brakujący czynnik.

Zadania

Zadanie 1

Wiadomo, że $a + b = 12$. Oblicz wartość podanego wyrażenia.

a) $-5a - 5b$

b) $3(a + b) - 6a - 6b$

c) $a(a + b) + b(a + b)$

d) $2a + 2b + 7$

e) $\frac{a + b}{4} - a - b$

f) $a(a + b) + b(a + b) - 4(a + b)$

💡 Pokaż podpowiedź

Zobacz trudniejsze przykłady ›

Zadanie 2

Wyłącz wskazany jednomian przed nawias.

a) $5x^2 + xy$, $x$

b) $3x^3 - 15xy$, $3x$

c) $4ab - abc$, $ab$

d) $8mn + 24m^2n$, $8mn$

e) $x^2y + 2x^2y^2 - x^3y$, $x^2y$

f) $3a^2b^2 - 7a^3b^2 + a^2b^3$, $a^2b^2$

g) $10p^2q - 5pq$, $5pq$

h) $-6x^2y - 9xy^2$, $-3xy$

💡 Pokaż podpowiedź

Zobacz trudniejsze przykłady ›

Zadanie 3

Przepisz do zeszytu i uzupełnij odpowiednimi jednomianami (w kolejności okienek).

a) $20x^4 + 30x^3 - 50x^2 = 10x^2(2x^2 + \boxed{?} + \boxed{?})$

b) $2ab(4a + b + \boxed{?}) = 8a^2b + \boxed{?} + 6ab$

c) $15t^4 - 10t^3 + 5t^2 = \boxed{?} \cdot (\boxed{?} - 2t + 1)$

d) $12m^3 - 18m^2 + 6m = 6m(\boxed{?} - 3m + \boxed{?})$

e) $5xy(2x - \boxed{?} + 3) = \boxed{?} - 15xy^2 + 15xy$

f) $8a^2b^2 - 12a^3b + 4a^2b = \boxed{?}(2b - \boxed{?} + 1)$

💡 Pokaż podpowiedź

Zadanie 4

Dopasuj do figury wyrażenie opisujące jej pole. W rombie $F$ oznaczono połowy przekątnych.

I. $x^2(a + 3)$; II. $ax(2a + 1)$; III. $4ax(a + 1)$; IV. $x(a + 2)^2$; V. $2x(a + 2)$; VI. $x^2(2a + 1)$.

a) figura A

b) figura B

c) figura C

d) figura D

e) figura E

f) figura F

💡 Pokaż podpowiedź

Zadanie 5

Aby obliczyć wartość wyrażenia $a^2 - 3ab$ dla $a = 16{,}5$ i $b = 2{,}5$, można zauważyć, że $a^2 - 3ab = a(a - 3b)$. Po podstawieniu otrzymujemy $16{,}5(16{,}5 - 3 \cdot 2{,}5) = 16{,}5 \cdot 9 = 148{,}5$. Korzystając z tej metody, oblicz wartość wyrażenia:

a) $x^2 + 2xy$ dla $x = 12{,}5$ i $y = 3{,}75$

b) $2x^2 - 3xy$ dla $x = 12$ i $y = 5$

c) $a^2 - 4ab$ dla $a = 22{,}5$ i $b = 3{,}125$

d) $3m^2 + mn$ dla $m = 7$ i $n = 9$

e) $x^2y + xy^2$ dla $x = 6{,}4$ i $y = 3{,}6$

f) $5a^2 - ab$ dla $a = 1{,}6$ i $b = 3$

💡 Pokaż podpowiedź

Zadanie 6

Wyłącz przed nawias czynnik liczbowy oraz wszystkie możliwe zmienne w jak najwyższych potęgach.

a) $6x^3 - 15x^2$

b) $5y^2 - 20y^5$

c) $4x^3 + 12x^2y$

d) $18ab - 12ac$

e) $10mn + 15nk$

f) $6xy + 9xy^2$

g) $3a^3b + 6a^2b - 9a^2b^2$

h) $16p^3q^2 - 24p^2q^3 + 4p^2q^2$

i) $36x^2y + 24xy^2 - 12x^2y^2$

j) $14a^4b^3 - 21a^3b^4$

k) $25m^2n - 10mn^2 + 5mn$

💡 Pokaż podpowiedź

Zadanie 7

Oblicz.

a) $5 \cdot 38 + 5 \cdot 62$

b) $30 \cdot 44 + 30 \cdot 56$

c) $126 \cdot 25 + 74 \cdot 25$

d) $58 \cdot 43 + 42 \cdot 43$

e) $10 \cdot 23 + 10 \cdot 27 + 50 \cdot 10$

f) $12 \cdot 16 + 12 \cdot 3 + 12$

g) $7 \cdot 135 - 7 \cdot 35$

h) $99 \cdot 18 + 18$

💡 Pokaż podpowiedź

Zadanie 8

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.

a) $7a + 7b$

b) $6m - 12n$

c) $8x - 24y^2$

d) $-5a^2 + 20b^2$

e) $34x^2 - 51z$

f) $-13p^3 + 26q^2$

g) $-42m + 56n$

h) $64ab^2 - 96c$

i) $45x - 60y + 15$

j) $-18a^2 - 27b$

💡 Pokaż podpowiedź

Moja karta pracy (0)

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Jak wybrać wspólny czynnik

Kontrola wyniku

Rozwiązane przykłady

Zastosowania

Wyłączanie czynnika z grup wyrazów

Typowe błędy

Po co to się przydaje

Zadania

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Zadanie 8

Szkoła podstawowa

Liceum/Technikum

Informacje