Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko rozwijać lub rozkładać charakterystyczne wyrażenia bez wykonywania pełnego mnożenia nawiasów. Najważniejsze wzory w tym zakresie to kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów.
Trzy podstawowe wzory
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$
Wyraz środkowy w kwadracie sumy lub różnicy jest podwojonym iloczynem składników. Znak ostatniego składnika $b^2$ jest zawsze dodatni, ponieważ kwadrat liczby jest nieujemny. Wzory działają w obu kierunkach: można rozwinąć nawias albo rozpoznać pełny kwadrat i przejść do postaci iloczynowej.
Jak rozpoznać wzór
W wyrażeniu trójskładnikowym sprawdzamy, czy pierwszy i ostatni składnik są kwadratami oraz czy środkowy jest równy $2ab$ lub $-2ab$. W różnicy kwadratów muszą występować dwa kwadraty oddzielone minusem. Suma kwadratów $a^2+b^2$ nie rozkłada się tym wzorem w zbiorze liczb rzeczywistych.
| Wyrażenie | Postać |
|---|---|
| $x^2+10x+25$ | $(x+5)^2$ |
| $4a^2-12ab+9b^2$ | $(2a-3b)^2$ |
| $9y^2-16$ | $(3y-4)(3y+4)$ |
Rozwiązane przykłady
- $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$.
- $(5a-b)^2=25a^2-10ab+b^2$.
- $49m^2-4n^2=(7m-2n)(7m+2n)$.
- $101^2=(100+1)^2=10\,000+200+1=10\,201$.
Zastosowania w rachunkach i dowodach
Wzory ułatwiają obliczenia bez kalkulatora, usuwanie nawiasów, rozkład na czynniki i przekształcanie równań. Pozwalają też porównywać wyrażenia. Na przykład $(x-4)^2\ge0$ daje $x^2-8x+16\ge0$, a więc $x^2+16\ge8x$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.
Wzory z bardziej złożonymi składnikami
W miejsce $a$ i $b$ można wstawić dowolne wyrażenia. Na przykład $(x^2+3y)^2=x^4+6x^2y+9y^2$, a $(2x-1)^2-(2x+1)^2=-8x$. Najpierw warto nazwać składniki wzoru, aby poprawnie obliczyć ich kwadraty i podwojony iloczyn.
Typowe błędy
- Pomijanie wyrazu $2ab$ i zapis $(a+b)^2=a^2+b^2$.
- Wstawianie minusa przed $b^2$ w kwadracie różnicy.
- Stosowanie różnicy kwadratów do sumy $a^2+b^2$.
- Rozpoznanie pełnego kwadratu bez sprawdzenia współczynnika środkowego.
Po co to się przydaje
Wzory skróconego mnożenia pojawiają się w prawie każdym dziale algebry. Są podstawą uzupełniania do kwadratu, postaci kanonicznej funkcji kwadratowej oraz wielu krótkich dowodów nierówności i podzielności.