Wykres funkcji liniowej

Prosta jest jednoznacznie wyznaczona przez dwa różne punkty. Wybieramy więc dwa argumenty, obliczamy wartości funkcji i zaznaczamy punkty $(x,f(x))$. Najwygodniej często przyjąć $x=0$, co daje punkt $(0,b)$, oraz taki argument, dla którego rachunki są proste.

Jeżeli $a\gt 0$, wykres wznosi się od lewej do prawej. Jeżeli $a\lt 0$, opada. Gdy $a=0$, otrzymujemy funkcję stałą $f(x)=b$ i prostą równoległą do osi $OX$. Proste o tym samym współczynniku $a$ i różnych wartościach $b$ są równoległe.

Z osią $OY$ wykres przecina się w punkcie $(0,b)$. Punkt przecięcia z osią $OX$ istnieje, gdy $a\neq0$, i ma współrzędną $x=-\frac{b}{a}$. Dla $a=0$ funkcja stała nie ma miejsca zerowego, jeśli $b\neq0$, albo ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, jeśli $b=0$.

1. Dla $f(x)=2x-3$ wybieramy punkty $(0,-3)$ i $(2,1)$. Ich połączenie jest wykresem funkcji.
2. Dla $g(x)=-\frac12x+2$ wygodne punkty to $(0{,}2)$ i $(4,0)$.
3. Funkcja $h(x)=5$ ma wykres $y=5$, poziomy i równoległy do osi $OX$.
4. Proste $y=3x-1$ i $y=3x+4$ są równoległe, bo mają ten sam współczynnik kierunkowy.

Jeżeli dziedziną jest przedział, wykres nie jest całą prostą, lecz odcinkiem, półprostą albo fragmentem z odpowiednimi końcami. Dla dziedziny $[-2;3)$ funkcji $f(x)=x+1$ zaznaczamy pełny punkt $(-2,-1)$ i pusty punkt $(3,4)$.

Z wykresu odczytujemy dwa punkty. Następnie obliczamy $a$ jako zmianę wartości podzieloną przez zmianę argumentu, a potem wyznaczamy $b$. Jeżeli wykres przechodzi przez początek układu, wtedy $b=0$ i funkcja opisuje proporcjonalność prostą.

• Rysowanie prostej na podstawie jednego punktu.
• Mylenie $b$ z punktem $(b,0)$ zamiast $(0,b)$.
• Pomijanie przypadku $a=0$.
• Rysowanie całej prostej mimo ograniczonej dziedziny.

Wykres funkcji liniowej opisuje stałe tempo zmian: jednakowy koszt każdej kolejnej sztuki, ruch ze stałą prędkością, regularny przyrost temperatury lub przeliczanie jednostek.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta, a przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Dlatego żeby
naszkicować wykres, nie trzeba liczyć wielu wartości: wystarczą dwa punkty. Najwygodniej wziąć $x = 0$, bo wtedy
$f(0) = b$ i od razu mamy punkt przecięcia z osią $OY$, a potem taki $x$, dla którego wartość wyjdzie całkowita.

Dla $f(x) = \frac{3}{2}x – 1$ punkt $A(0, -1)$ leży na osi $OY$, a drugi punkt bierzemy dla $x = 2$, czyli dla
mianownika współczynnika kierunkowego: $f(2) = \frac{3}{2} \cdot 2 – 1 = 2$, więc $B(2, 2)$. Taki dobór argumentu
to najprostszy sposób na trafienie w punkt kratowy.

Wykresy funkcji o tym samym współczynniku $a$ różnią się tylko wyrazem wolnym, a zmiana $b$ przesuwa całą prostą
wzdłuż osi $OY$: o $b$ jednostek w górę dla $b \gt 0$ i w dół dla $b \lt 0$. Prosta $y = 2x + 3$ to prosta $y = 2x$
przesunięta o $3$ jednostki w górę, a $y = 2x – 2$ – ta sama prosta przesunięta o $2$ jednostki w dół.

Działa to też w drugą stronę: jeśli dwie proste są równoległe, to mają równe współczynniki kierunkowe. Stąd bierze się
szybki sposób na zadania typu „napisz wzór prostej równoległej do danej i przechodzącej przez punkt $P$”: współczynnik
$a$ przepisujemy, a $b$ liczymy, podstawiając współrzędne punktu $P$.