Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę? Dla $a>0$, $a\neq1$ i $b>0$ zapis $\log_a b=c$ oznacza dokładnie to samo co $a^c=b$.
Warunki istnienia
Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od $1$, a liczba logarytmowana dodatnia. Dlatego $\log_2(-8)$ nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych, a zapis $\log_1 5$ jest niedopuszczalny. Z definicji wynikają równości $\log_a1=0$ oraz $\log_a a=1$.
Własności logarytmów
| Własność | Założenia |
|---|---|
| $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ | $x,y>0$ |
| $\log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y$ | $x,y>0$ |
| $\log_a(x^r)=r\log_a x$ | $x>0$ |
Wzory nie pozwalają rozdzielać logarytmu sumy: $\log_a(x+y)$ nie jest na ogół równe $\log_a x+\log_a y$. Przy każdym przekształceniu trzeba zachować dodatniość argumentów.
Rozwiązane przykłady
- $\log_2 64=6$, bo $2^6=64$.
- $\log_3\frac1{27}=-3$, bo $3^{-3}=\frac1{27}$.
- $\log_5 125+\log_5 5=3+1=4$.
- Równanie $\log_2(x-3)=4$ wymaga $x>3$. Z definicji $x-3=16$, więc $x=19$.
Zmiana podstawy
Dla dopuszczalnych podstaw $a$ i $c$ zachodzi $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$. W kalkulatorze można dzięki temu obliczać logarytmy o dowolnej podstawie za pomocą logarytmu dziesiętnego lub naturalnego.
Typowe błędy
- Pomijanie warunków $a>0$, $a\neq1$, $b>0$.
- Rozdzielanie logarytmu sumy lub różnicy.
- Mylenie $\log_a b$ z $\log_b a$.
- Zapominanie, że ujemny logarytm może być poprawny, gdy argument leży między $0$ i $1$.
Po co to się przydaje
Logarytmy upraszczają działania na potęgach i opisują skale, w których wartości zmieniają się o wiele rzędów wielkości. Są używane między innymi w informatyce, akustyce, chemii i modelach wzrostu.
Znak logarytmu
Dla podstawy $a>1$ logarytm liczby większej od $1$ jest dodatni, liczby $x$ spełniającej $0<x<1$ ujemny, a liczby $1$ równy zero. Dla podstawy $0<a<1$ zależność jest odwrotna. Można to odczytać z definicji i zachowania potęg. Przykładowo $\log_2\frac18=-3$, natomiast $\log_{1/2}8=-3$.
Kontrola przekształceń
Po uproszczeniu wyrażenia logarytmicznego warto sprawdzić, czy wszystkie argumenty były dodatnie. W równaniach warunki dziedziny zapisujemy przed łączeniem logarytmów. Otrzymane rozwiązania podstawiamy do tych warunków, ponieważ działania algebraiczne mogą prowadzić do kandydatów, dla których pierwotny logarytm nie istnieje.
Logarytm to wykładnik
Zapis $\log_a b = x$ czytamy jako pytanie: do jakiej potęgi podnieść $a$, żeby otrzymać $b$? Odpowiedzią jest
wykładnik $x$, bo $a^x = b$. Dlatego każde zadanie z logarytmem można zamienić na zadanie z potęgą.
Na osi pod liczbami $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ wypisano je jako potęgi dwójki. Logarytm o podstawie $2$ odczytuje
właśnie ten wykładnik: $\log_2 8 = 3$, $\log_2 16 = 4$, $\log_2 1 = 0$. Widać też, że kolejne potęgi rosną coraz
szybciej, a logarytm rośnie równomiernie, o jeden na każde podwojenie.
Trzy wzory, jedna zasada
Wszystkie własności logarytmów biorą się z praw działań na potęgach: mnożeniu potęg odpowiada dodawanie
wykładników, dzieleniu odejmowanie, a potędze potęgi mnożenie.
$$\begin{array}{|l|l|} \hline
\text{prawo dla potęg} & \text{prawo dla logarytmów} \\ \hline
a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y} & \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \\ \hline
a^{x} : a^{y} = a^{x-y} & \log_a \frac{b}{c} = \log_a b – \log_a c \\ \hline
\left(a^{x}\right)^{p} = a^{xp} & \log_a b^{p} = p \log_a b \\ \hline
\end{array}$$
Wzory działają tylko dla liczb dodatnich $b$ i $c$ oraz dla podstawy $a \gt 0$, $a \ne 1$. Nie ma natomiast
żadnego wzoru na $\log_a (b + c)$: sumy logarytmować się nie da.
Zadania
Zadanie 1
Oblicz.
Zadanie 2
Oblicz.
Zadanie 3
Oblicz.
Zadanie 4
Oblicz, korzystając ze wzoru $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$.
Zadanie 5
Oblicz, korzystając ze wzoru $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$.
Zadanie 6
Oblicz, korzystając ze wzoru $\log_a b^{p} = p \log_a b$.
Zadanie 7
Oblicz.
Zadanie 8
Oblicz.
Zadanie 9
Oblicz.
Zadanie 10
Sprawdź prawdziwość równości $\log_2 x + \log_2 y = \log_2 (xy)$ dla podanych wartości $x$ i $y$.
Zadanie 11
Sprawdź prawdziwość równości $\log_3 x - \log_3 y = \log_3 \frac{x}{y}$ dla podanych wartości $x$ i $y$.
Zadanie 12
Oblicz, korzystając ze wzoru na logarytm iloczynu.
Zadanie 13
Uzasadnij podaną równość.
Zadanie 14
Korzystając z zamieszczonej tablicy przybliżonych wartości logarytmów dziesiętnych, podaj przybliżone wartości.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0{,}02 & 0{,}03 & 0{,}04 & 0{,}05 & 0{,}06 & 0{,}07 \\ \hline \log x & -1{,}699 & -1{,}523 & -1{,}398 & -1{,}301 & -1{,}222 & -1{,}155 \\ \hline \end{array}$$