Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały, czyli $x\cdot y=a$ dla pewnej liczby $a\neq0$. Po wyznaczeniu jednej wielkości otrzymujemy funkcję $y=\frac{a}{x}$, której dziedziną jest $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ albo odpowiedni podzbiór wynikający z kontekstu.
Stała proporcjonalności
Liczba $a$ jest stałą proporcjonalności odwrotnej. Jeżeli znamy jedną parę $(x,y)$, obliczamy ją ze wzoru $a=xy$. Dla każdej innej pary opisującej tę samą zależność iloczyn musi mieć tę samą wartość. Gdy $x$ zwiększy się dwa razy, wartość bezwzględna $y$ zmniejszy się dwa razy.
Wykres
Wykresem $y=\frac{a}{x}$ jest hiperbola złożona z dwóch gałęzi. Dla $a\gt 0$ leżą one w pierwszej i trzeciej ćwiartce, a dla $a\lt 0$ w drugiej i czwartej. Osie układu są asymptotami: wykres może się do nich dowolnie zbliżać, ale ich nie przecina.
Dziedzina i zbiór wartości
W czystym modelu algebraicznym $x\neq0$ i $y\neq0$, więc zarówno dziedzina, jak i zbiór wartości są równe $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. W zadaniach praktycznych często przyjmujemy tylko $x\gt 0$, na przykład gdy $x$ oznacza liczbę pracowników, czas albo długość boku.
Monotoniczność
Funkcja $y=\frac{a}{x}$ jest monotoniczna osobno na przedziałach $(-\infty;0)$ i $(0;\infty)$. Dla $a\gt 0$ jest na obu tych przedziałach malejąca, a dla $a\lt 0$ rosnąca. Nie wolno łączyć obu części dziedziny w jeden przedział monotoniczności.
Rozwiązane przykłady
- Jeżeli $y=6$ dla $x=4$, to $a=24$, więc zależność ma wzór $y=\frac{24}{x}$.
- Dla $y=\frac{30}{x}$ i $x=5$ otrzymujemy $y=6$.
- Prostokąt o stałym polu $48$ i bokach $x,y\gt 0$ spełnia $y=\frac{48}{x}$.
- Jeśli $8$ jednakowych maszyn wykonuje pracę w $15$ godzin, to przy tej samej wydajności liczba maszyn $n$ i czas $t$ spełniają $nt=120$.
Jak rozpoznać zależność
W proporcjonalności prostej stały jest iloraz $\frac{y}{x}$, a w odwrotnej iloczyn $xy$. Sama obserwacja, że jedna wielkość maleje, gdy druga rośnie, nie wystarcza. Trzeba sprawdzić stałość iloczynu.
Typowe błędy
- Dopuszczanie $x=0$.
- Mylenie wzorów $y=ax$ i $y=\frac{a}{x}$.
- Zakładanie, że każda malejąca zależność jest odwrotną proporcjonalnością.
- Pomijanie ograniczeń praktycznych, takich jak dodatniość lub całkowitość.
Po co to się przydaje
Model opisuje czas wykonania stałej pracy, prędkość przy ustalonej drodze, wymiary figur o stałym polu, ciśnienie i objętość w prostych modelach fizycznych oraz podział stałej kwoty między osoby.
Zadania
Zadanie 1
Naszkicuj wykres funkcji $y = f(x)$, gdzie $x \gt 0$. Ile punktów o obu współrzędnych całkowitych leży na wykresie tej funkcji?
Zadanie 2
Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. Uzupełnij tabelę, podaj wzór tej proporcjonalności i naszkicuj jej wykres.
Zadanie 3
Czas $t$ potrzebny do przebycia drogi $s$ ze średnią prędkością $v$ wyraża się wzorem $t = \frac{s}{v}$. Rowerzysta ma do przebycia dystans 90 km. Na wykresie przedstawiono zależność czasu jego jazdy od średniej prędkości. Ile czasu zajmie rowerzyście pokonanie całego dystansu, jeśli będzie jechał z prędkością:
Zadanie 4
Samochód ma do przebycia trasę 360 km. Dobierz odpowiednio jednostki na osiach układu współrzędnych i naszkicuj wykres zależności między średnią prędkością samochodu a czasem podróży.
Zadanie 5
Rozważmy $n$-kąty foremne o obwodzie równym 24. Sporządź odpowiednią tabelę i naszkicuj wykres funkcji opisującej zależność długości boku $n$-kąta od liczby jego boków dla $n \leqslant 12$. Podaj dziedzinę tej funkcji.
Zadanie 6
Pewną stałą kwotę $k$ zł przeznaczono na zakup truskawek. Na wykresie przedstawiono zależność między ceną $x$ w złotych za kilogram a liczbą kilogramów $y$, które można w tej cenie kupić.