Dwie niepionowe proste o współczynnikach kierunkowych $a_1$ i $a_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1\cdot a_2=-1$. Oznacza to, że współczynnik jednej prostej jest ujemną odwrotnością współczynnika drugiej.
Jak znaleźć współczynnik prostej prostopadłej
Dla $a\neq0$ szukany współczynnik wynosi $a_\perp=-\frac1a$. Na przykład prosta prostopadła do $y=3x+2$ ma współczynnik $-\frac13$, a prosta prostopadła do $y=-\frac25x+1$ ma współczynnik $\frac52$.
Przypadki poziomy i pionowy
Prosta pozioma $y=c$ ma współczynnik $0$. Prosta do niej prostopadła jest pionowa i ma równanie $x=d$. Nie można tu użyć iloczynu $a_1a_2=-1$, ponieważ prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego.
Prosta prostopadła przez punkt
Najpierw wyznaczamy współczynnik kierunkowy danej prostej, potem jego ujemną odwrotność, a następnie używamy punktu $(x_0,y_0)$ w równaniu $y-y_0=a_\perp(x-x_0)$. Na końcu można przejść do postaci kierunkowej lub ogólnej.
Równania ogólne
Dla prostych $A_1x+B_1y+C_1=0$ i $A_2x+B_2y+C_2=0$ można, jeśli $B_1B_2\neq0$, przejść do współczynników $-\frac{A_1}{B_1}$ i $-\frac{A_2}{B_2}$. Wygodnym równoważnym warunkiem jest $A_1A_2+B_1B_2=0$, który obejmuje także proste pionowe i poziome.
Rozwiązane przykłady
- Proste $y=2x+1$ i $y=-\frac12x+7$ są prostopadłe, bo $2\cdot(-\frac12)=-1$.
- Prosta prostopadła do $y=-4x+3$ przez $(2,1)$ ma współczynnik $\frac14$ i równanie $y-1=\frac14(x-2)$.
- Prosta $3x-2y+5=0$ ma współczynnik $\frac32$, więc prostopadła ma współczynnik $-\frac23$.
- Proste $x=4$ i $y=-3$ są prostopadłe.
Kontrola geometryczna
Ujemna odwrotność zmienia znak i odwraca „wzrost do przesunięcia”. Jeśli jedna prosta przy ruchu o $q$ w prawo wznosi się o $p$, druga przy ruchu o $p$ w prawo opada o $q$. To odpowiada obrotowi kierunku o kąt prosty. Warunek dotyczy kierunków prostych, więc wyrazy wolne nie mają wpływu na prostopadłość.
Typowe błędy
- Stosowanie samej odwrotności bez zmiany znaku.
- Używanie warunku $a_1a_2=-1$ dla prostej pionowej.
- Mylenie prostopadłości z równoległością.
- Brak podstawienia punktu po znalezieniu współczynnika.
Po co to się przydaje
Warunek pozwala wyznaczać wysokości, symetralne, boki prostokątów i kierunki prostopadłe w geometrii analitycznej oraz w prostych modelach technicznych.
Iloczyn współczynników równy -1
Proste $y = a_1x + b_1$ (gdzie $a_1 \ne 0$) i $y = a_2x + b_2$ są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy
$a_1 \cdot a_2 = -1$, czyli $a_2 = -\frac{1}{a_1}$. Współczynnik prostej prostopadłej powstaje więc z danego przez
odwrócenie ułamka i zmianę znaku.
Na rysunku $a_1 = 2$ i $a_2 = -\frac{1}{2}$, a ich iloczyn wynosi $-1$. Widać też, dlaczego same znaki nie
wystarczą: proste $y = 2x$ i $y = -2x$ mają przeciwne współczynniki, ale ich iloczyn to $-4$, więc prostopadłe nie są.
Przypadki, w których wzór nie działa
Do prostej poziomej $y = c$ prostopadła jest prosta pionowa $x = d$, i odwrotnie. Nie da się tego zapisać warunkiem
$a_1 \cdot a_2 = -1$, bo prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego. Dlatego w zadaniach z prostą poziomą albo
pionową odpowiadamy od razu, bez liczenia.
Warunek w postaci ogólnej
Dla prostych zapisanych ogólnie wygodniejszy jest warunek $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$. Obejmuje on wszystkie przypadki,
także pionowe i poziome, i nie wymaga przekształcania równań do postaci kierunkowej. Odpowiednikiem warunku
równoległości jest wtedy $A_1B_2 = A_2B_1$.
Zadania
Zadanie 1
Uzasadnij, że czworokąt $PQRS$ o podanych wierzchołkach jest prostokątem.
Zadanie 2
Dla jakich wartości parametru $m$ proste $l_1$ i $l_2$ są prostopadłe?
Zadanie 3
Sprawdź, czy proste o podanych równaniach są prostopadłe.
Zadanie 4
Uzasadnij, że czworokąt $ABCD$ przedstawiony na rysunku jest trapezem prostokątnym.
Zadanie 5
Proste $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ i $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$. Sprawdź, czy proste $k$ i $l$ są prostopadłe.
Zadanie 6
Punkty $A(0, 0)$ i $C(2, 6)$ są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta $ABCD$, którego przekątna $BD$ jest zawarta w prostej $y = -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$. Uzasadnij, że ten prostokąt jest kwadratem, a następnie oblicz jego obwód i pole.
Zadanie 7
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej $l$ i przechodzącej przez punkt $P$.
Zadanie 8
Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest liczba $-2$, a jej wykresem jest prosta prostopadła do prostej o podanym równaniu. Wyznacz wzór tej funkcji.
Zadanie 9
Oblicz współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o podanym równaniu.
Zadanie 10
Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach $A$, $B$, $C$ jest prostokątny.
Zadanie 11
Proste prostopadłe $l_1$ i $l_2$ przecinają się w punkcie $(2, 4)$, a jedna z nich przecina oś $OX$ w punkcie $(-4, 0)$. O ile procent pole trójkąta ograniczonego prostymi $l_1$, $l_2$ i osią $OX$ jest większe od pola trójkąta ograniczonego tymi prostymi i osią $OY$?