Rozwinięcie dziesiętne pokazuje zapis liczby w systemie dziesiętnym i pozwala rozpoznać, czy liczba jest wymierna. Liczby wymierne mają rozwinięcia skończone albo nieskończone okresowe. Liczby niewymierne mają rozwinięcia nieskończone nieokresowe.
Rozwinięcia skończone i okresowe
Ułamek nieskracalny $\frac pq$ ma rozwinięcie skończone wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie mianownika $q$ występują wyłącznie czynniki $2$ i $5$. Na przykład $\frac{7}{40}=0{,}175$, bo $40=2^3\cdot5$. Ułamek $\frac{5}{12}$ ma rozwinięcie okresowe, ponieważ mianownik zawiera czynnik $3$.
Okres zapisujemy w nawiasie: $0{,}(27)=0{,}272727\ldots$. Część przed okresem może być niepusta, na przykład $1{,}2(3)=1{,}23333\ldots$.
Zamiana rozwinięcia okresowego na ułamek
Stosujemy odejmowanie odpowiednio przesuniętych zapisów. Dla $x=0{,}(36)$ mamy $100x=36{,}(36)$. Odejmując stronami, otrzymujemy $99x=36$, więc $x=\frac{36}{99}=\frac4{11}$. Gdy przed okresem występują cyfry, dobieramy dwie potęgi liczby $10$, aby po przecinku zaczynał się ten sam okres.
Przybliżenia i błąd
Zaokrąglając liczbę do określonego miejsca, patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę. Dla $3{,}1468$ przybliżenie do części setnych wynosi $3{,}15$. Błąd bezwzględny to $|x-a|$, gdzie $x$ jest wartością dokładną, a $a$ przybliżeniem. Przy zaokrągleniu do setnych błąd nie przekracza $0{,}005$.
Rozwiązane przykłady
- $\frac{13}{25}=\frac{52}{100}=0{,}52$.
- $\frac{7}{12}=0{,}58(3)$.
- Dla $x=0{,}(45)$ mamy $100x-x=45$, więc $x=\frac{45}{99}=\frac5{11}$.
- Liczbę $12{,}748$ zaokrąglamy do części dziesiątych jako $12{,}7$, a do jedności jako $13$.
Typowe błędy
- Mylenie liczby $0{,}1(6)$ z $0{,}(16)$.
- Wstawianie do licznika samego okresu bez odjęcia części nieokresowej.
- Uznawanie każdego rozwinięcia nieskończonego za niewymierne.
- Zaokrąglanie kolejno na kilku etapach, co zwiększa błąd.
Po co to się przydaje
Rozwinięcia dziesiętne są potrzebne w pomiarach, kalkulatorach, finansach i analizie błędu. Ułatwiają również świadome przechodzenie między wynikiem dokładnym a przybliżeniem.
Jak przewidzieć rodzaj rozwinięcia
Najpierw skracamy ułamek do postaci nieskracalnej, a dopiero potem rozkładamy mianownik na czynniki pierwsze. Sam fakt, że pierwotny mianownik zawiera czynnik inny niż $2$ lub $5$, nie przesądza o okresowości, bo czynnik ten może skrócić się z licznikiem. Przykładowo $\frac{6}{15}=\frac25=0{,}4$ ma rozwinięcie skończone. Jeśli po skróceniu w mianowniku zostaje czynnik inny niż $2$ lub $5$, rozwinięcie jest okresowe.
Reguła zaokrąglania krok po kroku
Zaokrąglanie do $n$ miejsc po przecinku ma trzy kroki. Po pierwsze: odcinamy wszystkie cyfry stojące dalej niż na
$n$-tym miejscu. Po drugie: patrzymy na pierwszą odciętą cyfrę. Po trzecie: jeśli jest to $0$, $1$, $2$, $3$ albo $4$,
ostatnią zachowaną cyfrę zostawiamy bez zmian; jeśli $5$, $6$, $7$, $8$ albo $9$, zwiększamy ją o jeden.
Liczba $x = 6{,}987$ leży za środkiem odcinka od $6{,}9$ do $7{,}0$, więc po zaokrągleniu do jednego miejsca
po przecinku dostajemy $7{,}0$. Pierwsza odrzucana cyfra to $8$, a to potwierdza regułę.
Uwaga na łańcuch zaokrągleń: liczbę $2{,}449$ zaokrąglamy do jednego miejsca jako $2{,}4$, a nie $2{,}5$.
Zaokrąglamy zawsze z liczby wyjściowej, nie z wcześniejszego zaokrąglenia.
Przybliżenie z nadmiarem i z niedomiarem
Jeśli przybliżenie jest mniejsze od liczby, mówimy o przybliżeniu z niedomiarem; jeśli większe, o przybliżeniu
z nadmiarem. Dla $\pi \approx 3{,}14159265$ przybliżenie $3{,}14$ jest z niedomiarem, a $3{,}1416$ z nadmiarem.
Wystarczy porównać przybliżenie z liczbą wyjściową, nie trzeba niczego liczyć.
Zadania
Zadanie 1
Przedstaw podaną liczbę w postaci dziesiętnej.
Zadanie 2
Jaka cyfra znajduje się na dziesiątym, a jaka na dwudziestym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym podanej liczby?
Zadanie 3
Wskaż liczby, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe.
Zadanie 4
Wiadomo, że $\sqrt{3} \approx 1{,}7320508$. Podaj przybliżenie liczby $\sqrt{3}$ z dokładnością do:
Zadanie 5
Zaokrąglij podaną liczbę do liczby całkowitej.
Zadanie 6
Podaj zaokrąglenia liczb $x = 6{,}847235$, $y = 12{,}395841$ i $z = 4{,}207516$ do $n$ miejsc po przecinku dla:
Zadanie 7
Podaj zaokrąglenie liczby $\pi \approx 3{,}14159265$ z dokładnością do $n$ miejsc po przecinku. Czy jest to przybliżenie z nadmiarem, czy z niedomiarem?
Zadanie 8
Znajdź rozwinięcie dziesiętne podanej liczby. Skorzystaj z podanych informacji: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$; $\frac{1}{6} = 0{,}1666\ldots$; $\frac{1}{9} = 0{,}111\ldots$; $\frac{1}{11} = 0{,}0909\ldots$
Zadanie 9
Jaka cyfra znajduje się na dwudziestym czwartym, a jaka na setnym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym podanej liczby?
Zadanie 10
Liczba o rozwinięciu dziesiętnym okresowym $4{,}28(3xy517)$ ma na dziesiątym miejscu po przecinku cyfrę 6, a na dwudziestym trzecim miejscu po przecinku cyfrę 4. Wyznacz cyfry $x$ i $y$ tego rozwinięcia.
Zadanie 11
Ułamek nieskracalny $\frac{m}{n}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $n$ jest iloczynem pewnej liczby czynników równych 2 lub 5. Odpowiedz, czy rozwinięcie dziesiętne podanego ułamka jest skończone, czy okresowe.
Zadanie 12
Przedstaw podaną liczbę w postaci ułamka zwykłego. Skorzystaj ze sposobu: oznacz liczbę przez $x$, pomnóż obie strony równania przez taką potęgę liczby 10, aby przecinek znalazł się przed pierwszym wystąpieniem okresu, a potem jeszcze raz tak, aby okresy się pokryły, i odejmij równania stronami.
Zadanie 13
Liczby $x = 0{,}(4)$ i $y = 2{,}(18)$ przedstaw w postaci ułamków zwykłych, a następnie oblicz:
Zadanie 14
Liczba o rozwinięciu dziesiętnym okresowym $0{,}(2x4y6)$ ma na dwudziestym drugim miejscu po przecinku cyfrę dwukrotnie większą od cyfry stojącej na dwudziestym trzecim miejscu, a cyfra na dziewiętnastym miejscu jest o 3 mniejsza od cyfry na dwudziestym drugim miejscu. Wyznacz cyfry $x$ i $y$.