Wzory skróconego mnożenia

Przejdź do zadań

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko rozwijać lub rozkładać charakterystyczne wyrażenia bez wykonywania pełnego mnożenia nawiasów. Najważniejsze wzory w tym zakresie to kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów.

Teoria: 7 sekcji, kliknij nagłówek, aby rozwinąć

Trzy podstawowe wzory

$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$

Wyraz środkowy w kwadracie sumy lub różnicy jest podwojonym iloczynem składników. Znak ostatniego składnika $b^2$ jest zawsze dodatni, ponieważ kwadrat liczby jest nieujemny. Wzory działają w obu kierunkach: można rozwinąć nawias albo rozpoznać pełny kwadrat i przejść do postaci iloczynowej.

Jak rozpoznać wzór

W wyrażeniu trójskładnikowym sprawdzamy, czy pierwszy i ostatni składnik są kwadratami oraz czy środkowy jest równy $2ab$ lub $-2ab$. W różnicy kwadratów muszą występować dwa kwadraty oddzielone minusem. Suma kwadratów $a^2+b^2$ nie rozkłada się tym wzorem w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wyrażenie Postać
$x^2+10x+25$ $(x+5)^2$
$4a^2-12ab+9b^2$ $(2a-3b)^2$
$9y^2-16$ $(3y-4)(3y+4)$

Rozwiązane przykłady

  1. $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$.
  2. $(5a-b)^2=25a^2-10ab+b^2$.
  3. $49m^2-4n^2=(7m-2n)(7m+2n)$.
  4. $101^2=(100+1)^2=10\,000+200+1=10\,201$.

Zastosowania w rachunkach i dowodach

Wzory ułatwiają obliczenia bez kalkulatora, usuwanie nawiasów, rozkład na czynniki i przekształcanie równań. Pozwalają też porównywać wyrażenia. Na przykład $(x-4)^2\ge0$ daje $x^2-8x+16\ge0$, a więc $x^2+16\ge8x$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Wzory z bardziej złożonymi składnikami

W miejsce $a$ i $b$ można wstawić dowolne wyrażenia. Na przykład $(x^2+3y)^2=x^4+6x^2y+9y^2$, a $(2x-1)^2-(2x+1)^2=-8x$. Najpierw warto nazwać składniki wzoru, aby poprawnie obliczyć ich kwadraty i podwojony iloczyn.

Typowe błędy

  • Pomijanie wyrazu $2ab$ i zapis $(a+b)^2=a^2+b^2$.
  • Wstawianie minusa przed $b^2$ w kwadracie różnicy.
  • Stosowanie różnicy kwadratów do sumy $a^2+b^2$.
  • Rozpoznanie pełnego kwadratu bez sprawdzenia współczynnika środkowego.

Po co to się przydaje

Wzory skróconego mnożenia pojawiają się w prawie każdym dziale algebry. Są podstawą uzupełniania do kwadratu, postaci kanonicznej funkcji kwadratowej oraz wielu krótkich dowodów nierówności i podzielności.

Zadania

Zadanie 1

Oblicz wartość wyrażenia:

a) $(x + 2)(x - 2) + (x + 1)(x - 1) - (x + 4)(x - 4)$ dla $x = \sqrt{5}$
b) $(1 - 3x)(1 + 3x) + (1 - x)(1 + x) - (1 - 2x)(2x + 1)$ dla $x = \sqrt{3}$
c) $(3x - 1)^2 - (3x - 1)(1 + 3x) - (3x + 1)^2$ dla $x = \sqrt{2}$
d) $(x - 3)^2 - (x + 3)^2$ dla $x = \sqrt{7}$
e) $(2x + 1)(2x - 1) - 4(x - 1)^2$ dla $x = \sqrt{6}$
f) $(x + 5)(x - 5) + (x - 2)^2$ dla $x = \sqrt{10}$
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zobacz trudniejsze przykłady ›

Zadanie 2

Oblicz.

a) $(2 + \sqrt{3})^2 + (2 - \sqrt{3})^2$
b) $(\sqrt{5} - 1)^2 - (3 - \sqrt{5})^2$
c) $(3\sqrt{2} - \frac{1}{2})^2 - (3\sqrt{2} + \frac{1}{2})^2$
d) $(\frac{1}{2} + 2\sqrt{3})^2 - (\frac{1}{2} - 2\sqrt{3})^2$
e) $(5 - \sqrt{7})(5 + \sqrt{7}) - (\sqrt{7} - 3)(3 + \sqrt{7})$
f) $(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2$
g) $(3\sqrt{2} - \sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2} + 1)(1 - 3\sqrt{2})$
h) $(\sqrt{10} - 2\sqrt{5})^2 - (4\sqrt{3} - 1)(1 + 4\sqrt{3})$
i) $(\sqrt{2} + \sqrt{8})^2$
j) $(2\sqrt{3} - 3)^2 + 12\sqrt{3}$
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zobacz trudniejsze przykłady ›

Zadanie 3

Uprość podane wyrażenie.

a) $(x - 4)(x + 4) + (3 + x)(3 - x)$
b) $(x + \frac{5}{2})(x - \frac{5}{2}) - (x - \frac{3}{2})(x + \frac{3}{2})$
c) $(y + 2x)(2x - y) - (x - 4y)(x + 4y)$
d) $(3x - y)(3x + y) + (2x + 3y)(2x - 3y)$
e) $(a + 1)^2 - (a - 1)^2$
f) $(2a - 3)^2 - (2a + 3)(2a - 3)$
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 4

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$ i $b$.

a) $a = 5 - \sqrt{7}$, $b = 5 + \sqrt{7}$
b) $a = 6 + \sqrt{2}$, $b = 3 - 2\sqrt{2}$
c) $a = 2\sqrt{3} - 1$, $b = 2\sqrt{3} + 1$
d) $a = \sqrt{6} + \sqrt{2}$, $b = \sqrt{6} - \sqrt{2}$
e) $a = 5 + \sqrt{3}$, $b = 5 - \sqrt{3}$
f) $a = 3 + 2\sqrt{2}$, $b = 6 - \sqrt{2}$
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 5

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $a$.

a) $a = 2 + \sqrt{3}$
b) $a = 3\sqrt{2} - 1$
c) $a = \sqrt{5} + \sqrt{3}$
d) $a = 4 - \sqrt{2}$
e) $a = 2\sqrt{5} + 1$
f) $a = \sqrt{7} - \sqrt{2}$
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Moja karta pracy (0)
Przewijanie do góry