Dodawanie i mnożenie liczb całkowitych są przemienne i łączne, a mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania. Te własności pozwalają zmieniać kolejność rachunków i wybierać wygodniejsze grupowanie.
Przemienność
$a+b=b+a$ oraz $a\cdot b=b\cdot a$. Odejmowanie i dzielenie nie są przemienne. Zwykle $a-b\ne b-a$ i $a:b\ne b:a$.
Łączność
W sumie lub iloczynie trzech liczb można zmieniać sposób ustawienia nawiasów: $(a+b)+c=a+(b+c)$ oraz $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$.
Rozdzielność mnożenia
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.$$ Na przykład $-6\cdot(20+3)=-120-18=-138$. W drugą stronę możemy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.
Elementy neutralne i zero
$a+0=a$, $a\cdot1=a$, $a\cdot0=0$ oraz $a+(-a)=0$. Dzielenie przez $1$ nie zmienia liczby, ale dzielenie przez zero nie ma sensu.
Sprytne rachunki
Przykład: $(-25)\cdot48=(-25)\cdot(4\cdot12)=-100\cdot12=-1200$. Z kolei $37+(-18)+(-37)=-18$, bo liczby przeciwne sumują się do zera.
Typowe błędy
- zmienianie kolejności składników odejmowania lub dzielenia,
- rozdzielanie mnożenia tylko na jeden składnik nawiasu,
- pomijanie znaku minus przed nawiasem,
- uznawanie, że każda własność działa dla wszystkich czterech działań.
Zgodne z: Matematyka z kluczem (klasa 6), dział „Liczby dodatnie i ujemne”.