Matura rozszerzona - Zbiór zadań CKE (2015)

Dane jest równanie kwadratowe $x^2+kx+2k-3=0$, gdzie $k\in R$. Dla jakich wartości parametru $k$ to równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne?

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x-2$ jest równa 2. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W(x-1)$ przez $x-3$.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ takich, że $|x|\neq|y|$, prawdziwa jest nierówność

$$\frac{(x-y)\left(x^3+y^3\right)}{(x+y)\left(x^3-y^3\right)}>\frac{1}{3}$$

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których pierwiastkami równania $\left(x^2-1\right)\left(x^2-m^2\right)=0$ są cztery kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.

Liczba $\log_4 9+\log_2 6$ jest równa

Wykaż, że $\log_3 5\cdot\log_4 9\cdot\log_5 2=1$.

Liczba $\left(2^7\right)^{\log_2 7}$ jest równa

Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest 6 razy większy od kwadratu najmniejszej z tych liczb powiększonego o 1. Wyznacz te liczby.

Liczby rzeczywiste $a$, $b$, $c$ są pierwiastkami wielomianu $x^3-2x+1$. Oblicz, ile jest równe $a^2+b^2+c^2$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, dla których równanie $k^2x-1=x(3k-2)-k$ ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

Równanie $\big||x+3|-4\big|=5$

Rozwiąż równanie $\big||x-1|-1\big|=|x-2|$.

Rozwiąż nierówność $|2x-2|-|x|\geq x$.

Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $|x+5|+|x-2|\geq 7$.

Rozwiązaniami nierówności $\left|x^2-4\right|<|x-2|$ są wszystkie liczby ze zbioru

Równanie kwadratowe $5x^2+4x-3=0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste: $x_1$ oraz $x_2$. Wartość wyrażenia $\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}$ jest równa

Równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$, gdzie $c\neq 0$, ma dwa różne pierwiastki, których suma jest równa ich podwojonemu iloczynowi. Wynika stąd, że

Określ liczbę rozwiązań równania $mx^2+mx-1-2m=0$, gdzie $x\in[-2;\ 2]$, w zależności od wartości parametru $m\in R$.

Funkcja $f$, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, określona jest wzorem $f(x)=(m-1)x^2-2x-m+1$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których wykres funkcji $f$ przecina się z prostą o równaniu $y=-x+1$ w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne mają przeciwne znaki.

Trójmian $x^2+bx+c$ ma dwa różne pierwiastki całkowite, oba różne od zera, a suma jego współczynników $1+b+c$ jest liczbą pierwszą. Wskaż przykład trójmianu spełniającego warunki zadania. Uzasadnij, że jednym z pierwiastków tego trójmianu jest liczba 2.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $m$ prawdziwa jest nierówność $8x^2-4mx+2m^2\geq 12x+6m-18$.

Wielomian $f$ jest dany wzorem $f(x)=x^4+x^3-2x^2+3x-a$. Reszta z dzielenia wielomianu $f$ przez dwumian $x-2$ jest równa 3, gdy $a$ jest równe

Dla pewnej wartości parametru $m$ reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=8x^8+6x^6+4x^4+2x^2+m$ przez $x-2$ jest równa 2014. Reszta z dzielenia wielomianu $W$ przez $2x+4$ jest równa

Wielomian $W(x)=4x^5+ax^3+bx^2+1$ jest podzielny przez dwumian $2x+1$, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian $x-2$ jest równa $105$. Wyznacz pierwiastki wielomianu $W$.

Rozwiąż równanie $3\left(x+\sqrt{2}\right)=x^3+2\sqrt{2}$.

Wskazówka: możesz skorzystać ze wzoru $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$.

Rozwiąż równanie $\left(x^2-3x\right)\left(x^2-3x+2\right)+1=0$.

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej $f(x)=-2x+2$ oraz fragment wykresu wielomianu $w(x)=x^4-6x^3+8x^2+4x-7$. Rozwiąż nierówność $w(x)\geq f(x)$.

Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu wielomianu $W(x)=\frac{1}{2}x^4+\frac{3}{2}x^3-4x^2-6x+8$. Wielomian $W$ jest podzielny przez dwumian $\frac{1}{2}x+2$. Rozwiąż nierówność $W(x+2)\geq 0$.

Dane są funkcje $f(k)=k^3$ oraz $g(k)=2\cdot f(k)-f(k-2)$, gdzie $k\in R$. Wyznacz wartości $k$, dla których $g(k)=80$.

Funkcja kwadratowa $f(x)=ax^2+bx-6$ osiąga najmniejszą wartość równą $-22$ dla argumentu $4$. Liczba $-3$ jest jednym z rozwiązań równania $x^3+ax^2+bx-6=0$. Wyznacz pozostałe rozwiązania tego równania.

Funkcja kwadratowa $f(x)=-x^2+(1-m)x+m+3$ osiąga wartość największą dla tego samego argumentu, dla którego wartość najmniejszą osiąga funkcja kwadratowa $g(x)=-(m+1)x^2+(2m-2)x-4m$. Uzasadnij, że dla dowolnej wartości argumentu prawdziwa jest nierówność $f(x)\leq g(x)$.

Funkcja $f$, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, jest określona wzorem $f(x)=2\sin(-3x)$. Na którym rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$?

A. B. C. D.

Wyznacz, w zależności od całkowitych wartości parametru $a>0$, liczbę różnych rozwiązań równania $\sin(\pi ax)=1$ w przedziale $\left[0;\ \frac{1}{a}\right]$.

Wyznacz najmniejszą dodatnią liczbę $x$ spełniającą warunki: $\sin x+\sin 3x=0$ oraz $\cos\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}$.

Dla danej funkcji kwadratowej $f$ określono funkcje $g$ i $h$ wzorami: $g(x)=k\cdot f(x)$ oraz $h(x)=f(kx)$, gdzie $k\neq 0$. Wyznacz wzór funkcji $f(x)$, mając dane wykresy funkcji $g$ i $h$.

Wykaż, że

$$\frac{1+2\cos 88^\circ\cdot\cos 2^\circ}{\cos^2 2^\circ-\cos 88^\circ\cdot\sin 2^\circ}=\frac{1+\operatorname{tg}2^\circ}{1-\operatorname{tg}2^\circ}$$

Na którym z poniższych rysunków jest przedstawiony fragment wykresu funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=\sin\left(\frac{2}{3}x\right)$?

A. B. C. D.

Dane są liczby: $a=\sin\left(32\frac{1}{3}\pi\right)$, $b=\cos\left(32\frac{1}{3}\pi\right)$, $c=\operatorname{tg}\left(32\frac{1}{3}\pi\right)$. Wówczas

Dana jest funkcja $f(x)=\cos x$ oraz funkcja $g(x)=f\left(\frac{1}{2}x\right)$. Rozwiąż graficznie i algebraicznie równanie $f(x)=g(x)$.

Rozwiąż równanie $\sin 2x+2\sin x+\cos x+1=0$, dla $x\in[-\pi;\ \pi]$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $\alpha\in[0;2\pi]$, dla których równanie $\left(x^2-\sin 2\alpha\right)(x-1)=0$ ma trzy rozwiązania.

Rozwiąż nierówność $\cos 2x<\cos x$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $(\cos x+a)\cdot\left(\sin^2 x-a\right)=0$ ma w przedziale $[0;\ 2\pi]$ dokładnie trzy różne rozwiązania.

Funkcja $f$, której dziedziną jest zbiór $(1,+\infty)$, jest określona wzorem

$$f(x)=x+1+\frac{x+1}{x}+\frac{x+1}{x^2}+\frac{x+1}{x^3}+\ldots$$

Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $6$.

Ciąg geometryczny $(a_n)$ spełnia następujące równanie rekurencyjne: $a_1=7$, $a_{n+2}=\frac{1}{6}a_{n+1}+\frac{1}{3}a_n$, dla $n\in\{1,2,3,\ldots\}$. Wyznacz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$.

Ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są dane następującymi wzorami: $a_n=\frac{n^2}{n+1}$, $b_n=\frac{3}{4n^2+2n}$ dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$. Oblicz granicę ciągu $(c_n)$ takiego, że $c_n=a_n\cdot b_n$ dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$.

Oblicz granicę $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^3+3n}{n^2+2}-\frac{n^2+7n}{n+21}\right)$.

Oblicz granicę $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^3-n^2}{n^2+1}-\frac{n^2}{n+3}\right)$.

Pierwszy wyraz $a_1$ nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_n)$ jest równy $\sqrt{2}$, natomiast suma pierwszych trzech jego wyrazów jest równa $\frac{7}{4}\sqrt{2}$. Szereg nieskończony $a_1+a_2+a_3+\ldots$ jest zbieżny. Oblicz jego sumę.

Dany jest nieskończony ciąg sześcianów. Krawędź pierwszego z nich jest równa $x_1$. Krawędź drugiego z tych sześcianów ma długość $x_2$ równą różnicy długości przekątnej pierwszego sześcianu i przekątnej ściany pierwszego sześcianu. Analogicznie trzeci sześcian ma krawędź $x_3$ o długości równej różnicy długości przekątnej drugiego sześcianu i przekątnej ściany drugiego sześcianu, itd. Oblicz sumę $x_1+x_2+x_3+\ldots$.

Trójkąt o boku $a$ i kącie ostrym $\alpha$, leżącym naprzeciw tego boku, jest wpisany w okrąg o promieniu $R$, zaś trójkąt o boku $a+1$ i kącie ostrym $\alpha$, leżącym naprzeciw tego boku, jest wpisany w okrąg o promieniu $R+1$. Wyznacz miarę kąta $\alpha$.

Trójkąt równoramienny $ABC$ jest wpisany w okrąg o równaniu $(x-5)^2+(y+3)^2=5$. Podstawą trójkąta $ABC$ jest odcinek $AB$ zawarty w prostej o równaniu $x-y-7=0$. Oblicz pole trójkąta $ABC$. Rozważ wszystkie przypadki.

Dany jest trójkąt $ABC$ o polu równym $P$. Odcinki $IJ$ i $GH$, których końce leżą na bokach trójkąta, są równoległe do boku $AB$ i przecinają wysokość $CD$ w punktach $E$ i $F$ takich, że $|CE|=|DF|=\frac{1}{4}\cdot|CD|$ (zobacz rysunek).

Pole trapezu $GHJI$ jest równe

Z wierzchołków kwadratu poprowadzono do odpowiednich boków proste pod takim samym kątem $\alpha$, mniejszym od $45^\circ$ (zobacz rysunek). Proste te wyznaczają w szczególności trójkąt (zacieniowany) o polu 9 i czworokąt (zacieniowany) o polu 7. Wyznacz pole kwadratu.

Wartość wyrażenia $\sin(2\alpha-\beta)$ jest równa

W trójkącie $ABC$ są dane $|AB|=8$, $|BC|=6$ oraz $\sin\sphericalangle ABC=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Oblicz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rysunek przedstawia trapez równoramienny $ABCD$ opisany na okręgu o środku $S$ i promieniu $r=\frac{\sqrt{91}}{2}$. Dolna podstawa trapezu jest o 6 dłuższa od górnej podstawy.

Oblicz obwód trapezu $ABCD$.

Czworokąt $ABCD$ wpisany w okrąg $S$ spełnia następujące warunki: $|BD|=|DC|$, $|AB|=4$, $|AC|=6$, $|AD|=5$. Oblicz długość promienia okręgu $S$.

W trójkąt równoramienny $ABC$ wpisano kwadrat w taki sposób, że bok $DE$ kwadratu zawiera się w podstawie $AB$ trójkąta, a wierzchołki $F$ i $G$ kwadratu leżą odpowiednio na ramionach $BC$ i $AC$ trójkąta (zobacz rysunek).

Pole trójkąta $CFG$ jest równe sumie pól trójkątów $ADG$ i $BEF$. Oblicz sinus kąta ostrego, pod jakim przecinają się odcinki $DF$ i $BG$.

W trapez prostokątny $ABCD$ wpisano okrąg o środku $O$, który w punkcie $P$ jest styczny do dłuższego ramienia $BC$ tego trapezu (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli $|BP|=p$ i $|CP|=q$, to obwód trapezu jest równy $2\left(\sqrt{p}+\sqrt{q}\right)^2$.

Na podstawie $AB$ trapezu $ABCD$ ($|AB|>|CD|$) wyznaczono taki punkt $E$, że czworokąt $AECD$ jest równoległobokiem. Przekątna $BD$ przecina odcinki $CA$ i $CE$ odpowiednio w punktach $F$ i $G$. Odcinki $DG$ i $BF$ są równej długości. Uzasadnij, że $\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Na boku $AB$ trójkąta $ABC$ obrano punkty $D$ i $E$ takie, że $|AD|=|EB|=\frac{1}{4}|AB|$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że

$$|AC|^2+2|CE|^2=|BC|^2+2|CD|^2$$

Okrąg $o_1$ jest opisany na czworokącie $ABCD$, natomiast $o_2$ jest opisany na czworokącie $AFEC$ (zobacz rysunek). Punkty $A$, $B$, $E$ są współliniowe i zachodzi równość $|\sphericalangle BFE|=|\sphericalangle CDB|$. Udowodnij, że punkty $F$, $B$, $C$ są współliniowe.

Zbadaj, czy punkt $(3,-1)$ leży na prostej przechodzącej przez punkt $(1,3)$ prostopadłej do prostej o równaniu $\frac{1}{2}x-y+\frac{1}{2}=0$.

Narysuj w układzie współrzędnych następujące zbiory: $(x+1)^2+(y+1)^2\leq 25$ oraz $y\geq\frac{1}{7}x+2\frac{5}{7}$ i oblicz pole figury $F$, która jest częścią wspólną narysowanych zbiorów.

Okręgi $o_1$ i $o_2$ są dane, odpowiednio, równaniami $x^2+y^2=1$ oraz $(x-6)^2+(y-3)^2=5$. Środki tych okręgów połączono odcinkiem, który przecina okrąg $o_1$ w punkcie $A$ oraz okrąg $o_2$ w punkcie $B$. Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$.

Dany jest okrąg o równaniu $(x-5)^2+(y-3)^2=9$. Wyznacz równania stycznych do danego okręgu przechodzących przez początek układu współrzędnych.

Dany jest okrąg $O_1$ o równaniu $(x-3)^2+y^2=36$ oraz okrąg $O_2$ o równaniu $x^2+(y-m)^2=m^2$. Dla jakich wartości parametru $m$ okręgi $O_1$ i $O_2$ mają dokładnie jeden punkt wspólny? Dla znalezionych wartości parametru $m$ wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środki tych okręgów.

Dany jest punkt $A=(0,0)$. Punkt $B$, różny od punktu $A$, należy do okręgu o równaniu $(x-2)^2+y^2=4$. Wykaż, że środek odcinka $AB$ należy do okręgu o równaniu $(x-1)^2+y^2=1$.

Na rysunku jest przedstawiony trójkąt prostokątny $ABC$, którego wierzchołkami są punkty $A=(0,0)$, $B=(4,0)$ i $C=(4,4)$, oraz okrąg o środku $C$, który dzieli trójkąt na dwie figury o równych polach.

Wyznacz równanie tego okręgu.

Dany jest trójkąt prostokątny $KLM$ o kącie prostym przy wierzchołku $K$, ograniczony prostymi $KL$: $2x+3y+5=0$, $LM$: $7x+4y-2=0$ oraz prostą $KM$. Wyznacz równanie prostej $KM$, wiedząc, że pole trójkąta $KLM$ jest równe 13.

Dwa boki trójkąta o polu równym 20 zawierają się w prostych prostopadłych $k$: $ax+by-4a=0$ oraz $l$: $(2b-1)x-ay-8b+4=0$. Trzeci bok tego trójkąta zawiera się w osi $Oy$. Wyznacz wszystkie dodatnie wartości parametrów $a$ i $b$, dla których spełnione są warunki zadania.

Wykaż, że jeśli prosta o równaniu $y=kx+l$ jest styczna do okręgu o równaniu $(x-k)^2+(y-l)^2=m^2$, gdzie $k,l\in R$ oraz $m>0$, to $\frac{k^4}{k^2+1}=m^2$.

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCDEF$ (zobacz rysunek obok) jest równa 6. Punkt $K$ dzieli krawędź boczną $CF$ w stosunku $2:3$. Pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy $AB$ i punkt $K$ jest równe $15\sqrt{3}$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy równej 4. Graniastosłup przecięto płaszczyzną jak na rysunku. Otrzymano w ten sposób przekrój o polu równym $48\sqrt{2}$. Oblicz objętość danego graniastosłupa.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$, w którym każda krawędź ma tę samą długość równą $a$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź $AB$ podstawy tego graniastosłupa jest trapezem, to płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy $ABC$ graniastosłupa pod takim kątem $\alpha$, że $\operatorname{tg}\alpha>\frac{2}{3}\sqrt{3}$.

Dany jest ostrosłup trójkątny $ABCS$, w którym krawędź boczna $AS$ jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a kąt między każdymi dwiema krawędziami bocznymi jest równy $60^\circ$. Przez punkt $D$ leżący na krawędzi $AS$ poprowadzono płaszczyznę równoległą do płaszczyzny podstawy $ABC$. Płaszczyzna ta przecięła krawędzie boczne $BS$ i $CS$ w punktach $E$ i $F$ (zobacz rysunek).

Pole trójkąta $ABC$ jest równe $P_1$, a pole trójkąta $DEF$ jest równe $P_2$. Oblicz odległość między płaszczyznami $ABC$ i $DEF$.

Punkt $S$ jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a punkty $E$, $F$ są odpowiednio środkami krawędzi $AB$ i $CD$ jego podstawy. Krawędź podstawy i wysokość tego ostrosłupa mają taką samą długość równą $1$. Płaszczyzna przechodząca przez punkty $E$ i $F$ przecina krawędzie boczne odpowiednio w punktach $G$ oraz $H$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że jest ono dwa razy większe od pola czworokąta $BCGH$.

Zdarzenia losowe $A$, $B$, $C$ zawarte w $\Omega$ są takie, że $C\subset A$, $P(C)>0$ i $P(A'\cap B)>0$. Wykaż, że $P(C\,|\,A)>P(C\,|\,A\cup B)$.

Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy jednocześnie trzy liczby ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba $4$, pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta.

Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Cztery kule ponumerowano kolejnymi liczbami od $1$ do $4$. Ustawiamy te kule losowo w szereg i zapisujemy liczbę, której kolejnymi cyframi są numery na kulach. Prawdopodobieństwo, że zapisana liczba nie jest podzielna przez $4$, jest równe

Liczby $x$, $y$, $z$ należą do zbioru $\{1,2,3,\ldots,100\}$. Liczba uporządkowanych trójek liczb $(x,y,z)$ spełniających warunek: liczba $x^2+y^2+z^2$ jest podzielna przez $3$, jest równa

Oblicz, ile jest trzycyfrowych liczb całkowitych dodatnich, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie dwie różne cyfry.

Zbiór $A=\{1,2,3,\ldots,2n-1,2n\}$, gdzie $n\geq 4$, jest złożony z $2n$ kolejnych liczb naturalnych. Rozpatrujemy wszystkie czteroelementowe podzbiory zbioru $A$. Przez $x$ oznaczmy liczbę podzbiorów, których suma wszystkich elementów jest parzysta, a przez $y$ oznaczmy liczbę podzbiorów, których suma wszystkich elementów jest nieparzysta. Wykaż, że $x-y=\dbinom{n}{2}$.

Na wspólnym zebraniu klas IIIA i IIIB postanowiono wylosować dwie osoby, które będą kierowały przygotowaniami do studniówki. Każda z tych dwóch klas liczy $20$ osób; w IIIA jest $6$ dziewcząt, w klasie IIIB jest dziewcząt $12$. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wylosowane osoby są dziewczętami, jeśli obie pochodzą z tej samej klasy?

Doświadczenie losowe polega na dwóch rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna różnicy wyrzuconych liczb będzie większa od $2$, jeżeli wiadomo, że suma kwadratów tych liczb przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $1$.

Zdarzenia losowe $A$, $B$ zawarte w $\Omega$ są takie, że $P(B)>0$ i prawdopodobieństwo warunkowe $P(A\,|\,B)=0{,}386$. Oblicz $\dfrac{P(A'\cap B)}{P(B)}$. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zdarzenia losowe $A$, $B$ zawarte w $\Omega$ są takie, że $P(A\cup B)=0{,}9$; $P(A\cap B')=0{,}2$; $P(A'\cap B)=0{,}4$. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe $P(A\,|\,B)$.

Funkcja $f(x)=2x^3-\frac{1}{2}x+1$ jest malejąca w przedziale

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $12$, jest taki, który ma największą objętość. Oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa i jego objętość.

Funkcja $f(x)=12x-x^3$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. W przedziale $[-1;\ 1]$ funkcja $f$

Granica $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{(2x+1)^4-(2x+3)^4}{(x+3)^3-(3x-1)^3}$ jest równa

Oblicz granicę $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x^2+4x-12}$.

Jeśli $a\neq 0$, granica $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2(ax)^2+(bx)^2}{(ax)^2-(bx)^2}$ jest równa $2$ dla parametru $b$ równego

Funkcja $f$, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, jest określona wzorem $f(x)=-2x^3+3x^2$. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale

Funkcja $f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+2$ ma maksimum w punkcie

Rozważmy wszystkie ostrosłupy prawidłowe sześciokątne, w których suma długości krótszej przekątnej podstawy i wysokości ostrosłupa jest równa $9$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Wykaż, że równanie $2x^3-3x^2-5=0$ ma w przedziale $(2,3)$ dokładnie jedno rozwiązanie.

Wielomian $f$ jest dany wzorem $f(x)=3x^4-4kx^3+6x^2-12kx$ z parametrem rzeczywistym $k$. Wyznacz wszystkie wartości $k$, dla których funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[2;\ +\infty)$ i nie jest rosnąca w żadnym przedziale postaci $[a;\ +\infty)$ dla $a<2$.

Funkcja wymierna $f$ jest dana wzorem $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+2x+2}$. Wyznacz wartość najmniejszą i wartość największą, jakie ta funkcja przyjmuje dla argumentów z przedziału $[-3;\ 1]$.