Matura rozszerzona - Zbiór zadań CKE (2022)

Oblicz wartość wyrażenia $$\log_8 3^{\,3\log_3 2-\log_{27}8-\log_9 4}.$$ Zapisz obliczenia.

Liczby $a$, $b$, $c$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej $7$. Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby $7$.

Wykaż, że iloczyn $a\cdot b\cdot c$ jest podzielny przez $294$.

Niech $a$, $b$ będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość $2a^2+a=3b^2+b$.

Wykaż, że jeśli $5$ jest dzielnikiem liczby $a-b$, to $25$ również jest dzielnikiem liczby $a-b$.

Rozpatrzmy liczby naturalne większe od $1000$, w których zapisie występuje tylko cyfra $1$: $$a=\underbrace{11\ldots 111}_{n}$$

Wykaż, że jeśli liczba $a$ zapisana za pomocą $n$ jedynek jest liczbą pierwszą, to liczba $n$ również jest liczbą pierwszą.

Suma liczb całkowitych $x$ i $y$ jest podzielna przez $3$.

Wykaż, że suma sześcianów liczb $x$ i $y$ jest podzielna przez $9$.

W rozwinięciu wyrażenia $(a+b)^n$ dla pewnego $n\in\mathbb{N}$ suma współczynników przy wyrazach $a^{n-2}b^2$ oraz $a^{n-1}b$ jest równa $66$.

Oblicz $n$. Zapisz obliczenia.

Niech $a$, $b$, $c$ będą takimi liczbami całkowitymi, że $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0$.

Wykaż, że $a=b=c=0$.

Wykaż, że liczba $a=\left(\sqrt{5}+2\right)^{2022}+\left(\sqrt{5}-2\right)^{2022}$ jest wymierna.

Rozwiąż nierówność $2x^2+x|2x-1|\leq 3$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność $$x+4+\frac{8}{x-4}\geq\frac{-2x-8}{x^2-16}.$$ Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$2x^2-(2m+7)x+m^2-3m+21=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunek $x_1=2x_2$. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ prawdziwe są nierówności $$2\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)<\frac{1}{\sqrt{n+1}} \quad \text{i} \quad \frac{1}{\sqrt{n+1}}<2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).$$

Rozwiąż układ równań $$\begin{cases} x^2-2x+y^2=24 \\ x^2-10x+y^2-8y+40=0 \end{cases}$$ Zapisz obliczenia.

Dane są funkcje $k$ oraz $p$. Funkcja $k$ jest określona wzorem $k(x)=5-x^2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Funkcja $p$ jest określona wzorem $p(x)=\sqrt{1-x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ nie większej od $1$. Funkcje $f$ oraz $g$ są określone następująco: $$f=k\circ p \quad \text{oraz} \quad g=p\circ k.$$

Wyznacz wzory i dziedziny funkcji $f$ oraz $g$.

Narysuj wykres funkcji $f(x)=\dfrac{|x^2-9|}{3-x}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $f(x)=m$ nie ma rozwiązania. Zapisz obliczenia.

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Ciąg $(a_1\cdot a_2,\ a_2\cdot a_3,\ a_3\cdot a_1)$ jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.

Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dane są dwie proste $l_1$ oraz $l_2$. Kąt między tymi prostymi ma miarę $45^\circ$. Współczynnik kierunkowy w równaniu prostej $l_1$ jest równy $\dfrac{2}{3}$.

Oblicz współczynnik kierunkowy w równaniu prostej $l_2$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\cos^2 x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$ w przedziale $[-\pi;\ \pi]$. Zapisz obliczenia.

Na szczycie wieży o wysokości $h$ umieszczono pionowo antenę radiową stacji nadawczej o długości $l$ ($l>h$). Punkt $O$ leży na płaszczyźnie poziomej przechodzącej przez podnóże wieży, a punkt $A$ znajduje się na końcu anteny. Koniec anteny $A$ widać z punktu $O$ pod dwukrotnie większym kątem niż wieżę (zobacz rysunek).

Oblicz odległość $x$ podnóża wieży od punktu $O$. Zapisz obliczenia.

W pewien okrąg wpisano czworokąt $ABCD$ taki, że $|AB|=10$, $|CD|=6$ oraz $|BC|=|BD|$. Styczna do tego okręgu w punkcie $C$ tworzy z bokiem $CD$ kąt $\alpha$ o mierze $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

W trapezie $ABCD$ przekątna $BD$ jest dwusieczną kąta $CBA$ i przecina przekątną $AC$ w punkcie $K$, takim, że $|CK|:|KA|=1:3$. Pole tego trapezu jest równe $100\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$, $\sin\sphericalangle BAD=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $|AD|=10$ oraz kąt $BAD$ jest ostry.

Oblicz długości pozostałych boków trapezu $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Punkt $D$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$. Prosta przechodząca przez punkt $D$ i równoległa do boku $AC$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$, a bok $BC$ w punkcie $L$. Prosta przechodząca przez punkt $D$ i równoległa do boku $BC$ przecina bok $AB$ w punkcie $M$, a bok $AC$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek). Stosunek obwodu trójkąta $KMD$ do obwodu trójkąta $KBL$ jest równy $5:7$, a stosunek obwodu trójkąta $KMD$ do obwodu trójkąta $AMN$ jest równy $5:8$. Pole czworokąta $DLCN$ jest równe $15$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x)=\frac{\sqrt{2x}}{5+x^2}-3^{-x-1}$$ dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej $x$.

Wykaż, że funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe dodatnie mniejsze od $3$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\sqrt{1+4x}$ dla $x\in\left[-\frac{1}{4};\ +\infty\right)$.

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_0=2$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^4-2x^3+x^2-1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\in[-1;\ 3]$.

Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$.

Trójkąt $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$, jest wpisany w okrąg o promieniu $R$. Środek tego okręgu leży wewnątrz trójkąta $ABC$. Niech $x$ oznacza odległość środka okręgu od podstawy $AB$.

Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem $P(x)=(R+x)\sqrt{R^2-x^2}$. Określ dziedzinę tej funkcji.

Dany jest okrąg o promieniu $R$. Rozważamy wszystkie trójkąty spełniające warunki:

• są wpisane w ten okrąg,
• mają obwody równe $3R$,
• mają jeden z boków dwukrotnie dłuższy od drugiego.

Znajdź trójkąt o możliwie największym polu przy zadanych warunkach. Oblicz jego pole. Zapisz obliczenia.

Grażyna planuje zrobienie pudełka (bez wieczka) w kształcie prostopadłościanu. W tym celu zamierza wykorzystać prostokątny kawałek tektury o wymiarach $10$ cm na $16$ cm, odcinając z każdego rogu kwadrat o boku $x$ cm (zobacz rysunek).

Oblicz wartość $x$, dla której objętość otrzymanego pudełka będzie największa. Oblicz tę największą objętość pudełka. Zapisz obliczenia.

Dom $D$ stoi w odległości $5$ km od prostoliniowego odcinka drogi. W chwili początkowej Janusz znajduje się na tej drodze w punkcie $A$ oddalonym od domu $D$ o $13$ km (zobacz rysunek). Janusz może iść drogą z maksymalną prędkością $5$ km/h, zaś poza nią może poruszać się z maksymalną prędkością $3$ km/h.

Oblicz najkrótszy czas potrzebny Januszowi na dojście do domu $D$. Zapisz obliczenia.

Ciężarówka ma do pokonania trasę długości $S$ km, poruszając się po autostradzie ze stałą prędkością $v$ km/h. Minimalna prędkość dla ciężarówek na autostradzie wynosi $40$ km/h, maksymalna $80$ km/h. Wiemy, że litr paliwa kosztuje $8$ złotych, a kierowca otrzymuje $42$ złote za godzinę swej pracy. Zużycie paliwa w ciągu jednej godziny jazdy autostradą w zależności od prędkości $v$ wyrażone w litrach można opisać funkcją $f(v)=7+\dfrac{v^2}{400}$.

Oblicz, przy jakiej prędkości koszt przejazdu będzie najmniejszy. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że koszt przejazdu jest sumą kosztu paliwa oraz wynagrodzenia kierowcy.

Dana jest kula o promieniu $1$. Rozpatrujemy wszystkie stożki zawierające środek kuli i wpisane w tę kulę, to znaczy takie, w których:

• wierzchołek leży na powierzchni kuli,
• okrąg, będący krawędzią podstawy stożka, leży na powierzchni kuli

(zobacz rysunek).

Oblicz promień podstawy tego stożka, który ma największą objętość. Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Dana jest kula o promieniu $1$. Rozpatrujemy wszystkie stożki opisane na tej kuli, to znaczy takie, których:

• podstawa ma dokładnie jeden punkt wspólny z kulą,
• każda tworząca ma dokładnie jeden punkt wspólny z kulą

(zobacz rysunek).