Matura rozszerzona - maj 2019 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|$, dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne -2$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$, takich że $x\lt y$, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest nierówność $\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2$.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Na ramieniu $AC$ wybrano punkt $M$ ($M\ne A$ i $M\ne C$), a na ramieniu $BC$ wybrano punkt $N$ w taki sposób, że $|AM|=|CN|$. Przez punkty $M$ i $N$ poprowadzono proste prostopadłe do podstawy $AB$, które wyznaczają na niej punkty $S$ i $T$. Udowodnij, że $|ST|=\frac{1}{2}|AB|$.

Ciąg $(a,b,c)$ jest geometryczny, ciąg $(a+1,b+5,c)$ jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz $a+b+c=39$. Oblicz $a$, $b$, $c$.

Dane są okręgi o równaniach $x^2+y^2-12x-8y+43=0$ oraz $x^2+y^2-2ax+4y+a^2-77=0$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Wielomian określony wzorem $W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2-11x-2(2m+1)$ jest podzielny przez dwumian $(x-2)$ oraz przy dzieleniu przez dwumian $(x+1)$ daje resztę $6$. Oblicz $m$ oraz pierwiastki wielomianu $W$ dla wyznaczonej wartości $m$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x=\sin x+1$ w przedziale $[0,2\pi]$.

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ oraz $|AC|=16$, $|AD|=6$, $|CD|=14$ i $|BC|=|BD|$. Oblicz obwód trójkąta $ABC$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=(2m+1)x^2+(m+2)x+m-3$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $(x_1-x_2)^2+5x_1x_2\ge 1$.

Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt $ABCD$, którego boki mają długości $|AB|=32$ i $|BC|=18$. Ściany boczne $ABS$ i $CDS$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem $\alpha$. Ściany boczne $BCS$ i $ADS$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\beta$. Miary kątów $\alpha$ i $\beta$ spełniają warunek $\alpha+\beta=90^\circ$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.