Matura rozszerzona - czerwiec 2024 - arkusz maturalny

W chwili początkowej ($t=0$) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.

W wyniku tej reakcji masa $m$ związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością $$m(t)=a\cdot 2^{-0{,}05\cdot t}+b\quad\text{dla }t\geq 0$$ gdzie $m$ oznacza masę związku A w gramach, $t$ oznacza czas w sekundach, a $a$ i $b$ są współczynnikami liczbowymi.

Masa początkowa związku A, czyli masa w chwili $t=0$, była równa $m_0$ gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi, czyli gdy $t\to\infty$, masa tego związku była równa $\frac19$ jego masy początkowej.

Oblicz, po ilu sekundach, licząc od chwili zainicjowania tej reakcji, przereagowało $87{,}5\%$ masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę $$\lim_{x\to 3^-}\frac{|x-3|}{x^2-9}.$$

Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x)=\frac{2x+1}{x-4}$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 4$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P=(x_0,5)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $a$ i każdej liczby dodatniej $b$ takich, że $a+b=1$, prawdziwa jest nierówność $$\frac1{2a+b}+\frac1{a+2b}\geq\frac43.$$

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe $a$ oraz $b$, przy czym $a>b$. W ten trapez można wpisać okrąg.

Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od $a\cdot b$.

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ o numerach nieparzystych jest równa $16$, czyli $$a_1+a_3+a_5+\ldots=16.$$

Ponadto $$a_1+a_3=\frac52\cdot a_2.$$

Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

W okrąg o promieniu $4$ wpisano trójkąt $ABC$. Długość boku $AB$ jest równa $6$. Bok $BC$ ma długość $4\sqrt3$ i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.

Oblicz długość boku $AC$ trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin(6x)+\sqrt3\cdot\sin(5x)+\sin(4x)=0.$$

Zapisz obliczenia.

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $a$. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy $\frac{\sqrt{11}}{6}$.

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $3x+y+2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=x^2-2x-8$ w punktach $A$ oraz $B$, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wierzchołek $A$ ma pierwszą współrzędną ujemną.

Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=-\frac12x+1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu $C$ od prostej zawierającej bok $AB$ równoległoboku jest równa $\frac{9\sqrt{10}}5$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$(3-m)\cdot x^2+(m+1)\cdot x-(m+1)^2=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $$x_1^2+x_2^2=x_1\cdot x_2+7.$$

Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości $H$ ostrosłupa oraz promienia $R$ okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa $6$.