Matura rozszerzona - maj 2015 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $1$ oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ różnej od $1$ prawdziwa jest równość

$$\log_x(xy)\cdot\log_y\left(\frac{y}{x}\right)=\log_y(xy)\cdot\log_x\left(\frac{y}{x}\right).$$

Dany jest wielomian

$$W(x)=x^3-3mx^2+(3m^2-1)x-9m^2+20m+4.$$

Wykres tego wielomianu, po przesunięciu o wektor $\vec{u}=[-3,0]$, przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu $W$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$$(m^2-m)x^2-x+1=0$$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ takie, że

$$\frac{1}{x_1+x_2}\leq\frac{m}{3}\leq\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}.$$

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy $5$, do drugiej $3$, a do trzeciej $4$, to otrzymamy rosnący ciąg geometryczny, w którym trzeci wyraz jest cztery razy większy od pierwszego. Znajdź te liczby.

Rozwiąż równanie

$$\sin^2 2x-4\sin^2 x+1=0$$

w przedziale $(0,2\pi)$.

Rozwiąż nierówność

$$|2x-6|+|x+7|\geq17.$$

O trapezie $ABCD$ wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ - w podanej kolejności - tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez $ABCD$ jest rombem.

Na boku $AB$ trójkąta równobocznego $ABC$ wybrano punkt $D$ taki, że $|AD|:|DB|=2:3$. Oblicz tangens kąta $ACD$.

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu

$$x^2+y^2+4x-6y-3=0$$

i zarazem prostopadłych do prostej

$$x+2y-6=0.$$

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem $2\alpha$. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.

Rozważmy rzut sześcioma kostkami do gry, z których każda ma inny kolor. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że uzyskany wynik rzutu spełnia równocześnie trzy warunki:

• dokładnie na dwóch kostkach otrzymano po jednym oczku;
• dokładnie na trzech kostkach otrzymano po sześć oczek;
• suma wszystkich otrzymanych liczb oczek jest parzysta.