Matura rozszerzona - maj 2026 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^2+4$. W układzie współrzędnych $(x,y)$ styczna do wykresu tej funkcji w punkcie $(2,8)$ przecina oś $Ox$ w punkcie

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Iloraz tego ciągu jest równy $\frac{2}{3}$, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\frac{9}{4}$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Najmniejszą liczbą naturalną $n$ spełniającą nierówność $$\left|\frac{2n-5}{3n+2}-\frac{2}{3}\right|<\frac{1}{20}$$ jest

Liczby $x$ oraz $y$ są takimi dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że $x\cdot y\neq 1$ i $y\neq 1$ oraz $\log_{x\cdot y}x=2026$. Liczba $\log_y(x\cdot y)$ jest równa

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem rekurencyjnym $$\begin{cases}a_1=\sqrt{2},\\a_{n+1}=\frac{4}{a_n}\end{cases}$$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu. Wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Ze zbioru ośmiu liczb $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}.$$

Punkty $K$ i $L$ są środkami - odpowiednio - boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe. Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach - odpowiednio - $P$ oraz $Q$.

Wykaż, że $|PQ|=\frac{\sqrt{5}}{5}a$.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od $6$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy $-2025$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$.

Rozwiąż równanie $$\sin(6x)-2\sin(2x)=0.$$

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt{2}\pi$, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\frac{5}{9}$.

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa.

W układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(1,-1)$ oraz $B=(4,0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA|=|CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x+2y-4=0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM|:|MC|=1:4$.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$.

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, gdzie $m\neq 0$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $$f(x)=m^2x^2-2mx-m+1$$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ należące do przedziału $(-2,2)$.

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB|=9$, $|AD|=10$ oraz $|\angle BAD|=60^\circ$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg.

Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$.

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika. Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.