Matura rozszerzona - maj 2025 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Suma wszystkich pierwiastków wielomianu $W(x)=x^3+5x^2-7x-11$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^2+5x+6}{x^2+9}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest

Wartość wyrażenia $\cos\frac{7\pi}{6}\cdot\operatorname{tg}\frac{4\pi}{3}$ jest równa

Granica $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{2x^2+2x-12}$ jest równa

Sąsiednie boki równoległoboku mają długość $6$ i $9$. Pole tego równoległoboku jest równe $18$. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.

W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności i pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\neq\frac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność

$$(a+2b)^3>8a^2b+16ab^2.$$

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Wykaż, że miara kąta $DAC$ jest równa $45^\circ$.

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.

Rozwiąż nierówność

$$|x-2|-2\cdot|x+3|<-2.$$

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1+a_3=20$ i $a_1^2+a_3^2=328$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.

W układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi $\mathcal{O}_1$ oraz $\mathcal{O}_2$ o równaniach:

$$\mathcal{O}_1:(x-1)^2+(y+3)^2=5,$$

$$\mathcal{O}_2:(x-2)^2+(y-4)^2=45.$$

Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM}=-2\cdot\overrightarrow{BM}$. Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$.

Rozwiąż równanie

$$3\cos^2x+\sqrt{3}\sin(2x)-3\sin^2x=0$$

w przedziale $[-\pi,\pi]$.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $-\frac{9}{25}$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Funkcja $f$ jest określona wzorem

$$f(x)=(2-m)x^2-2(2m+1)x+m+8$$

dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od $2$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek

$$(x_1-x_2)^2\leq180.$$

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$.