Matura rozszerzona - czerwiec 2019 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Parametr $m$ dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania $(4-m^2)\cdot x=m^2-3m+2$ z niewiadomą $x$. Wynika stąd, że:

Dane są trzy niewspółliniowe punkty: $A=(1,1)$, $B=(6,3)$, $C=(4,5)$. Ile jest wszystkich punktów $D$ takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach $A$, $B$, $C$, $D$ jest równoległobokiem?

Wiadomo, że wielomian $15x^5-133x^4+383x^3-499x^2+146x+120$ ma w zbiorze $\left\{\frac{7}{6},\frac{6}{5},\frac{8}{7},\frac{9}{5}\right\}$ dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba:

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony w następujący sposób: $a_1=\frac{3}{5}$ oraz $a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n$ dla $n\geq 1$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa:

W urnie znajduje się $16$ kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest $10$ kul białych i $6$ kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.

Wpisz - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy $28$.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\frac{25x^2-9}{x^2+2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Oblicz wartość $f\prime(10)$ pochodnej tej funkcji dla argumentu $10$.

Dwusieczne kątów $BAD$ i $BCD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się w punkcie $E$, przy czym punkty $B$ i $E$ leżą po przeciwnych stronach prostej $AC$.

Wykaż, że$$|\angle ABC|-|\angle ADC|+2\cdot|\angle AEC|=360^\circ.$$

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5-3n^4-n+19$ jest podzielne przez $16$.

Miara kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego jest o $2^\circ$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n+2)$-kąta foremnego. Oblicz $n$.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości $6$. Na krawędziach bocznych $BS$ i $CS$ wybrano punkty, odpowiednio $D$ i $E$, takie że $|BD|=|CE|$ oraz $|DE|=4$. Płaszczyzna $ADE$ jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej $BCS$ ostrosłupa.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie$$4x^2+(2-4m)x+m^2-m-2=0$$ma dwa różne dodatnie rozwiązania $x_1$, $x_2$ spełniające nierówność$$x_1^2+x_2^2\leq\frac{17}{4}.$$

Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu $90$. Przekątna $BD$ zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2x-y-5=0$. Wyznacz długość boku tego rombu.

Rozwiąż równanie$$4\sin 7x\cos 2x=2\sin 9x-1$$w przedziale $(0,\pi)$.

Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu $18$. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S_1$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S_2$ i promieniu $2x$, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

• rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
• obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu $18$;
• punkty $S$, $S_1$, $S_2$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach $a$, $b$, $c$ można obliczyć ze wzoru Herona$$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$gdzie $p$ jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta $SS_1S_2$ jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.