Matura rozszerzona – czerwiec 2019 – zadanie 15

Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu $18$. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S_1$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S_2$ i promieniu $2x$, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

• rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
• obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu $18$;
• punkty $S$, $S_1$, $S_2$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach $a$, $b$, $c$ można obliczyć ze wzoru Herona$$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$gdzie $p$ jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta $SS_1S_2$ jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.