Planimetria - zadania autorskie

Boki prostokąta na rysunku opisano na dwa sposoby. Dłuższy bok ma długość $x$, a naprzeciwległy do niego bok opisano wyrażeniem $3x-16$. Krótszy bok ma długość $y$, a bok do niego naprzeciwległy opisano wyrażeniem $20-3y$.

Jeśli boki trójkąta pozostają w stosunku $5:12:13$, to taki trójkąt jest prostokątny (liczby $5$, $12$ i $13$ tworzą tak zwaną trójkę pitagorejską).

Punkty $M$ i $N$ leżą na okręgu o środku $O$. Promień tego okręgu ma długość $13$ cm, a odcinek $MN$ ma długość $24$ cm (zobacz rysunek).

Zosia zaznaczyła w układzie współrzędnych trzy wierzchołki równoległoboku $KLMN$: $K=(-4,-1)$, $M=(3,3)$ oraz $N=(-2,3)$ (zobacz rysunek). Brakującego wierzchołka $L$ jeszcze nie narysowała, ale wiadomo, że jego pierwsza współrzędna jest dodatnia.

Przekątna $KM$ czworokąta $KLMN$ ma długość $14\ \text{cm}$ i dzieli go na trójkąty $KLM$ oraz $KMN$ (zobacz rysunek). Pole całego czworokąta wynosi $63\ \text{cm}^2$, a odległość wierzchołka $N$ od prostej $KM$ jest równa $3\ \text{cm}$.

Czworokąt $KLMN$ ma trzy boki jednakowej długości: $|KL|=|LM|=|MN|$. Kąt $KNM$ ma $137^\circ$. Odcinek $LN$ rozcina ten czworokąt na dwie części: trójkąt równoboczny $LMN$ i trójkąt równoramienny $KLN$. Na rysunku zaznaczono kąty przy wierzchołkach $K$ i $L$.

Punkty $K$ i $L$ leżą na prostej $p$, a punkty $M$, $N$ i $R$ na prostej $q$, przy czym $p\parallel q$. Odcinek $KM$ jest prostopadły do obu prostych. Wiadomo, że $|\angle MKN|=28^\circ$ oraz $|\angle LKR|=31^\circ$, jak na rysunku.

Ola ma trzy figury wycięte z kartonu: kwadrat $F_1$ o boku $4$ cm, kwadrat $F_2$ o boku $2$ cm i prostokąt $F_3$ o wymiarach $4\ \text{cm}\times 2\ \text{cm}$ (zobacz rysunek). Chce z nich ułożyć, bez rozcinania, kwadrat $K$ o polu $36\ \text{cm}^2$.

Prostokąt $KLMN$ o wysokości $6$ cm rozcięto wzdłuż odcinka $PQ$, równoległego do boku $KN$, na dwa mniejsze prostokąty: $KPQN$ oraz $PLMQ$. Odcinek $KP$ ma $3$ cm, a pole mniejszego prostokąta $KPQN$ to $\frac{3}{8}$ pola całego prostokąta $KLMN$.

Romb $KLMN$ ma obwód równy $100$ cm. Jego przekątna $KM$ ma długość $48$ cm (zobacz rysunek). Rysunek nie jest wykonany w skali.

Zosia narysowała w prostokątnym układzie współrzędnych odcinek $KL$. Jego środkiem jest punkt $M=(-2,4)$, a jeden z końców tego odcinka to punkt $K=(3,7)$.

Na rysunku są dwa trójkąty równoramienne o wspólnym boku $KL$: trójkąt $KLM$ o ramionach $MK$ i $ML$ oraz trójkąt $KLN$ o ramionach $LK$ i $LN$. Kąt $KML$ ma $76^\circ$, a kąt $KLN$ ma $30^\circ$. Odcinki $KM$ i $LN$ przecinają się w punkcie $S$.

Na rysunku widać czworokąt $KLMN$, który przekątna $LN$ dzieli na dwa trójkąty prostokątne. W trójkącie $KLN$ kąt prosty znajduje się przy wierzchołku $K$, a w trójkącie $LMN$ przy wierzchołku $L$. Wiadomo, że $|KL|=2$, $|LM|=4$ oraz $|KN|=\sqrt{5}$.

Punkt $P$ leży na boku $KL$ trójkąta $KLM$, a punkt $Q$ na boku $KM$ tego trójkąta (zobacz rysunek). Odcinek $PQ$ dzieli trójkąt $KLM$ na dwie części: trójkąt $KPQ$ o obwodzie 22 cm i czworokąt $PLMQ$ o obwodzie 34 cm. Obwód całego trójkąta $KLM$ wynosi 40 cm.

Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę $30^\circ$. Przeciwprostokątna tego trójkąta jest o 7 cm dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $30^\circ$.

Na kartce w linie Kuba narysował dwa równoległoboki $K$ i $M$ oraz trójkąt $L$ (zobacz rysunek). Sąsiednie linie są od siebie jednakowo oddalone, a dolne boki wszystkich trzech figur są równej długości i leżą na tej samej linii. Pole równoległoboku $K$ wynosi $6$.

Kasia mieszka w miejscowości Olszynka, a jej koleżanka Weronika - w miejscowości Gruszków. Kasia umówiła się z Weroniką w Gruszkowie na godzinę $17{:}00$. Wyjechała z Olszynki na rowerze o godzinie $16{:}10$. Średnia prędkość jazdy Kasi była równa $24\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$.

Marek rysuje na kartce w kratkę wzór, który składa się z $45$ odcinków połączonych końcami. Odcinki ponumerował po kolei liczbami od $1$ do $45$. Poniżej pokazano dziewięć pierwszych odcinków. Dalsze odcinki Marek rysował, powtarzając tę samą regułę.

Kwadrat $K$ ma przekątną o długości $10$, a prostokąt $P$ ma boki o długościach $4$ i $12$.

Zosia szyje prostokątną serwetkę o wymiarach $24\ \text{cm}\times 35\ \text{cm}$ i chce ją ozdobić wzdłuż dwóch boków wzorem dokładnie takim, jak przedstawiony na rysunku. Do ozdobienia użyje jednakowych kwadratowych naszywek, których bok wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Niektóre naszywki będzie musiała przeciąć na dwie lub na cztery jednakowe części.

Na rysunku widać prostokąt $KLMN$ oraz jego przekątne $KM$ i $LN$, które mają wspólny punkt $S$. Kąt $NSM$ utworzony przez te przekątne ma $116^\circ$.

Wysokości $MP$ i $KR$ trójkąta $KLM$ przecinają się w punkcie $S$. Kąt rozwarty $PSR$, który tworzą te wysokości, ma $124^\circ$, a przy wierzchołku $M$ oznaczono kąt $\alpha$ (zobacz rysunek).

Trójkąt $KLM$ jest równoramienny, $|KM|=|LM|$. Wysokości $KP$ i $MR$ tego trójkąta przecinają się w punkcie $S$, a kąt $LMR$ ma $25^\circ$. Kąt $\alpha$ oznaczono na rysunku.

Miary kątów wewnętrznych trójkąta $KLM$ spełniają dwa warunki: kąt przy wierzchołku $L$ ma $64^\circ$, a miara kąta przy wierzchołku $M$ jest równa sumie miar dwóch pozostałych kątów.

Trzy proste przecinają się w punktach $K$, $L$ i $M$ tak, jak pokazano na rysunku. Odcinki $KL$ i $KM$ mają równe długości. Na rysunku zaznaczono kąty $\alpha$ i $\beta$.

Miary kątów wewnętrznych pewnego czworokąta oznaczono literami $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ i $\delta$. Wiadomo, że $\beta=2\alpha$, kąt $\gamma$ jest o $50^\circ$ większy od kąta $\alpha$, a kąt $\delta$ jest prosty.

Trapez $KLMN$ ma podstawy $KL$ i $NM$. Punkt $P$ leży na dłuższej podstawie $KL$, a odcinek $NP$ jest równoległy do ramienia $LM$, więc czworokąt $PLMN$ jest równoległobokiem. Kąt $NKL$ ma $51^\circ$, a kąt $KNP$ ma $33^\circ$ (zobacz rysunek).

Na rysunku I przedstawiono fragment ściany łazienki wyłożonej płytkami w kształcie kwadratów o boku długości $40\ \text{cm}$ i płytkami w kształcie jednakowych prostokątów. Na tej ścianie zawieszono prostokątne lustro (patrz rysunek II).

Prostokątna działka rolna jest podzielona na dwie części $A$ i $B$ tak, jak pokazano na rysunku. Każda z tych części ma kształt trapezu.

Trójkąt $KLM$ jest równoramienny, jego ramionami są boki $KM$ i $LM$. Z wierzchołka $M$ opuszczono wysokość na podstawę $KL$, a jej spodek oznaczono literą $N$. Wiadomo, że obwód trójkąta $KMN$ wynosi $32$ cm, natomiast obwód całego trójkąta $KLM$ wynosi $50$ cm.

Czworokąt $KLMN$ składa się z dwóch trójkątów prostokątnych równoramiennych: $KLM$ oraz $KMN$, których wspólnym bokiem jest przekątna $KM$ o długości $\sqrt{32}$ (zobacz rysunek). W trójkącie $KLM$ kąt prosty jest przy wierzchołku $L$, a w trójkącie $KMN$ przy wierzchołku $K$.

Kwadratową kartkę $KLMN$ o polu $576\ \mathrm{cm}^2$ pocięto na trzy części: kwadrat $K_1$ o polu $100\ \mathrm{cm}^2$, kwadrat $K_2$ oraz figurę $F$ w kształcie litery L (zobacz rysunek).

Z kartki w kształcie kwadratu o boku $a$ (rysunek I) Ola wycięła cztery jednakowe paski, tnąc kartkę wzdłuż linii przerywanych. Następnie ułożyła z tych pasków figurę pokazaną na rysunku II: dwa paski w dolnym rzędzie i dwa w górnym, przy czym górny rząd jest przesunięty względem dolnego o $\frac{a}{2}$.

Z kart w kształcie sześciokąta foremnego o boku długości $3$ cm układano figury w sposób przedstawiony na rysunku. Każdą kolejną kartę dokładano do poprzedniej figury tak, że karty stykały się całym bokiem.

Element układanki ma kształt prostokąta o bokach $a$ i $b$. Z czterech takich elementów zbudowano dwie figury: figurę I i figurę II. Elementy przylegają do siebie dokładnie, bez szczelin.

Kwadratową kartkę pocięto na $4$ jednakowe prostokątne paski (zobacz rysunek). Obwód każdego paska wynosi $25$.

Płytka dekoracyjna ma kształt dużego prostokąta złożonego z dziewięciu jednakowych mniejszych prostokątów, ułożonych tak, jak pokazano na rysunku. Wysokość płytki wynosi $7{,}2$.

Punkt $P$ jest środkiem boku $KL$ prostokąta $KLMN$, a punkt $Q$ jest środkiem jego boku $LM$. Wiadomo, że $PL=12$ cm oraz $PQ=15$ cm.

Prostokątny kawałek tektury $KLMN$ ma boki długości $4$ i $10$. Kuba rozciął go wzdłuż linii przerywanej (rysunek 1) na trapez prostokątny i trójkąt prostokątny równoramienny, a potem przesunął trójkąt na drugą stronę trapezu i otrzymał równoległobok $PQRS$, który nie jest prostokątem (rysunek 2).

W równoległoboku $KLMN$ przekątna $LN$ jest prostopadła do boku $KN$. Wiadomo, że $|KN|=5$ oraz $|LN|=12$ (zobacz rysunek). Rysunek nie jest wykonany w skali.

Czworokąt $KLMN$ jest trapezem, który składa się z kwadratu $KPRN$, trójkąta $PQR$ i rombu $QLMR$ (zobacz rysunek). Boki trójkąta $PQR$ mają długości $9$, $12$ i $15$, tak jak zaznaczono na rysunku.

Na rysunku narysowano dwie figury: kwadrat, którego bok ma długość $6$ cm, oraz trójkąt prostokątny, w którym obie przyprostokątne mają jednakową długość $x$. Pole tego trójkąta jest takie samo jak pole kwadratu.

Każdy bok trójkąta równobocznego $KLM$ ma długość 12 cm. Z wierzchołka $M$ opuszczono wysokość na bok $KL$, a jej spodek oznaczono literą $N$. Wysokość ta dzieli trójkąt $KLM$ na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny, w którym kąty przy podstawie oznaczono literą $\alpha$. Długości jego boków zapisano jako wyrażenia z niewiadomą $x$.

Kuba narysował w układzie współrzędnych dwa odcinki. Pierwszy z nich, $KL$, ma końce $K=(2,-3)$ i $L=(2,5)$, a drugi, $MN$, ma końce $M=(-3,1)$ i $N=(5,1)$.

W trójkącie prostokątnym $KLM$ kąt przy wierzchołku $L$ jest prosty, a kąt przy wierzchołku $K$ ma miarę $30^\circ$. Na boku $KL$ zaznaczono punkt $P$, a na boku $KM$ punkt $Q$ tak, że odcinek $PQ$ jest prostopadły do boku $KL$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ ma długość $6\sqrt{3}$ cm, a odcinek $PQ$ ma długość 2 cm.

Kuba narysował w zeszycie prostokąt $KLMN$, a następnie poprowadził odcinek $PQ$ równolegle do boku $KN$ tak, że po lewej stronie powstał kwadrat $KPQN$, a po prawej stronie prostokąt $PLMQ$. Obwód kwadratu $KPQN$ wynosi $24$ cm, natomiast obwód prostokąta $PLMQ$ jest o $8$ cm większy od obwodu tego kwadratu.

Trójkąt $KLM$ ma kąt prosty przy wierzchołku $L$. Punkt $S$ jest środkiem przyprostokątnej $KL$, przy czym $\lvert KS\rvert=\lvert SL\rvert=8\ \text{cm}$. Odcinek $SM$ łączy ten punkt z wierzchołkiem $M$ i ma długość $17\ \text{cm}$ (zobacz rysunek).

Basia narysowała na kartce w kratkę układ współrzędnych, a w nim równoległobok $KLMN$ (zobacz rysunek). Każdy wierzchołek tego równoległoboku jest punktem kratowym.

Na mapie w kratkę Kuba zaznaczył położenie leśniczówki ($L$), jeziora ($J$) oraz stacji kolejowej ($K$). Jezioro znajduje się $6\ \text{km}$ na południe i $8\ \text{km}$ na wschód od leśniczówki. Stacja kolejowa znajduje się $10\ \text{km}$ na zachód od leśniczówki.

Dany jest prostokąt $KLMN$ o bokach długości $15$ cm i $20$ cm. Odcinek $KM$ jest przekątną tego prostokąta, a odcinek $NT$ jest wysokością trójkąta $KMN$ opuszczoną na bok $KM$ (zobacz rysunek).

Figura $T$ na rysunku została ułożona z jedenastu jednakowych patyczków. Tworzą one dwa kwadraty $ABEF$ i $BCDE$ oraz dwa trójkąty równoboczne $AGF$ i $CHD$. Figura $T$ ma dwie osie symetrii w płaszczyźnie rysunku.

Na rysunku przedstawiono trójkąt $KLM$ w układzie współrzędnych. Punkt $Q$ leży na boku $LM$. Każda ze współrzędnych punktów $K$, $L$, $M$ i $Q$ jest liczbą całkowitą.

Bok kwadratu $KLMN$ ma $12\ \text{cm}$. Boki $KL$ i $MN$ podzielono kreskami na cztery jednakowe odcinki, a boki $LM$ i $NK$ na trzy jednakowe odcinki. Punkt $P$ leży na boku $LM$, punkt $Q$ leży na boku $MN$, a odcinki $KP$ i $KQ$ wycinają z kwadratu zacieniowany czworokąt $KPMQ$ (zobacz rysunek).

Dany jest trapez prostokątny, w którym dłuższa podstawa ma $8$ cm, krótsza podstawa ma $2$ cm, a ramię prostopadłe do podstaw ma $8$ cm (zobacz rysunek).

Na dziedzińcu szkoły w kształcie kwadratu o boku długości $12$ metrów wytyczono klomb w kształcie prostokąta tak, że jego boki są równoległe do boków dziedzińca. Do klombu prowadzą cztery chodniki. Dwa krótsze chodniki mają po $2$ m długości każdy, a dwa dłuższe mają po $3{,}5$ m długości każdy (zobacz rysunek).

Pięciokąt $KLMNP$ składa się z kwadratu $KLMN$ i trójkąta $KNP$, które mają wspólny bok $KN$ (zobacz rysunek).

Prostokątną deskę $KLMN$ przecięto wzdłuż odcinka $PQ$ na dwie części: prostokąt $KPQN$ i kwadrat $PLMQ$ (zobacz rysunek). Obwód części prostokątnej $KPQN$ wynosi $32\text{ cm}$, a bok $KP$ ma $6\text{ cm}$.

Prostokąt $KLMN$ ma bok $LM$ o długości $8$ cm. Na boku $KN$ wybrano punkt $P$, a na boku $KL$ punkt $Q$, przy czym $KP=6$ cm. Odcinki $PQ$ i $QM$ poprowadzono tak, że trójkąty $PKQ$ i $QLM$ są przystające, a kąty oznaczone na rysunku literą $\alpha$ mają równe miary.

W rombie $KLMN$ bok ma długość $13$ cm, a krótsza przekątna $KM$ ma długość $10$ cm (zobacz rysunek).

Zosia wycięła z kolorowego papieru romb $KLMN$ i zmierzyła jego przekątne: mają one długości $16\ \text{cm}$ i $30\ \text{cm}$ (zobacz rysunek).

Kuba narysował w zeszycie romb o obwodzie $40$ cm, w którym jeden z kątów ma miarę $60^\circ$, a następnie poprowadził krótszą przekątną.

Ramiona trapezu równoramiennego $KLMN$ mają po $10\ \text{cm}$. Z wierzchołka $N$ poprowadzono wysokość $NP$ o długości $8\ \text{cm}$. Górna podstawa $NM$ jest krótsza i ma $7\ \text{cm}$ (zobacz rysunek).

W trapezie prostokątnym $KLMN$ ramię $LM$ prostopadłe do podstaw ma $6$ cm, kąt $NKL$ przy dłuższej podstawie ma miarę $45^\circ$, a dłuższa podstawa $KL$ jest cztery razy dłuższa od krótszej podstawy $NM$ (zobacz rysunek).

Trójkąt $KLM$ jest prostokątny, a kąt prosty ma przy wierzchołku $K$. Każdą z jego przyprostokątnych przedłużono: bok $KL$ o $4\ \mathrm{cm}$ do punktu $P$, a bok $KM$ o $6\ \mathrm{cm}$ do punktu $Q$. Powstały w ten sposób trójkąt $KPQ$ jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi $128\ \mathrm{cm}^2$ (zobacz rysunek).

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy $64\ \text{cm}$. Podstawa tego trójkąta jest o $13\ \text{cm}$ dłuższa od jego ramienia.

Na rysunku przedstawiono trójkąt $PQR$ oraz jego wysokość $RS$ opuszczoną z wierzchołka $R$ na bok $PQ$. Bok $PQ$ ma długość $4a$, bok $QR$ ma długość $3b$, a wysokość $RS$ ma długość $m+2$.

W pokoju Zosi leżą dwa dywany w kształcie prostokąta: mały i duży. Mały dywan narysowany w skali $1:25$ jest prostokątem o wymiarach $4\ \text{cm}$ i $6\ \text{cm}$. Rzeczywiste wymiary dużego dywanu są równe $3\ \text{m}$ i $4\ \text{m}$.

W układzie współrzędnych dany jest odcinek $KL$ o końcach w punktach $K=(-9,-14)$ oraz $L=(21,4)$.

Prostokąt $ABCD$ podzielono odcinkami $AE$ i $BF$ na trapez równoramienny $ABFE$ i dwa trójkąty w sposób pokazany na rysunku. Punkty $E$ i $F$ leżą na boku $DC$.

Prostokąt $ABCD$, w którym $|AB|=10\ \text{cm}$ i $|BC|=6\ \text{cm}$, przecięto prostą $k$ na dwa trapezy: $AQPD$ oraz $QBCP$ (zobacz rysunek). Punkt $P$ leży na boku $DC$, punkt $Q$ leży na boku $AB$, a $|DP|=2{,}5\ \text{cm}$.

Na rysunku przedstawiono fragment prostokątnego układu współrzędnych, w którym zaznaczono trzy punkty: $K$, $L$ oraz $M$. Punkty te są wierzchołkami trójkąta $KLM$, a kąt przy wierzchołku $L$ jest prosty. Obie współrzędne każdego z tych punktów są liczbami całkowitymi.

Taras pani Ewy ma kształt trapezu, którego podstawy mają długości $6\ \text{m}$ i $4\ \text{m}$, a wysokość jest równa $3{,}2\ \text{m}$. Pani Ewa chce wyłożyć cały taras płytkami. Jeden karton płytek wybranych przez panią Ewę wystarcza na wyłożenie $1{,}5\ \text{m}^2$ powierzchni i kosztuje $68$ zł.

Ola wycięła z kolorowego kartonu romb $KLMN$. Bok tego rombu ma długość $6$ cm, a kąt rozwarty ma miarę $120^\circ$. Ola chce obliczyć długości przekątnych i pole wyciętej figury.

Kuba jeździ rowerem z domu na boisko. Może jechać drogą $A$, czyli ulicami przez skrzyżowanie $S$ (na planie linia ciągła), albo drogą $B$, czyli prostą ścieżką przez park (na planie linia przerywana). Ulice w miejscu skrzyżowania $S$ przecinają się pod kątem prostym.

Poniżej narysowano trzy trójkąty: $DEF$, $GHI$ oraz $PQR$. Przy każdym z nich zapisano miary dwóch kątów i długość jednego boku. Rysunki nie są wykonane w skali.

Wojtek rysuje czworokąt $KLMN$. Na rysunku zaznaczył już dwa sąsiednie wierzchołki $K$ i $L$; oba te punkty są punktami kratowymi. Dwa pozostałe wierzchołki mają współrzędne $M=(6,y_M)$ oraz $N=(1,y_N)$, przy czym $y_M=y_N$ i jest to liczba całkowita dodatnia.

Dane są równoległobok $ABCD$ oraz prostokąt $ABEF$. Punkty $F$, $D$, $E$ i $C$ leżą na jednej prostej (zobacz rysunek).

Punkt $P$ leży na boku $NM$ równoległoboku $KLMN$, przy czym $|PM|=|PL|$, więc trójkąt $LMP$ jest równoramienny. Wiadomo, że kąt $KNP$ ma $112^\circ$ (zobacz rysunek).

Czworokąt $ABCD$ przedstawiony na rysunku jest równoległobokiem, a jego bok $AB$ leży na prostej. Zaznaczono kąty $\alpha$ i $\beta$ oraz podano miarę kąta $120^\circ$.

Na rysunku pokazano równoległobok $KLMN$ złożony z czterech jednakowych trójkątów prostokątnych. Odcinki $NE$ i $FL$ są prostopadłe do boku $KL$, a odcinek $EF$ łączy punkty $E$ i $F$. Boki równoległoboku mają długości $|KL|=30\ \text{cm}$ i $|KN|=17\ \text{cm}$.

Poniżej narysowano trójkąt $DEF$ oraz trójkąt $PQR$. W każdym z nich jeden bok ma długość $6$, a przy dwóch wierzchołkach zapisano miary kątów. Rysunki nie są wykonane w skali.

Poniżej narysowano dwa trójkąty. W każdym z nich zapisano miary dwóch kątów, a jeden z boków oznaczono literą $b$. Rysunki nie są wykonane w skali.

Małe kwadraty o bokach długości $1$ układano obok siebie tak, że uzyskiwano kolejne, coraz większe schodki, według reguły przedstawionej na poniższym rysunku. Pierwsze schodki mają jeden stopień, drugie mają dwa stopnie, a trzecie mają trzy stopnie.

Prostokątna mozaika o bokach długości $a$ i $b$ składa się z czterech kwadratowych elementów ułożonych tak, jak pokazano na rysunku.

Miary trzech kątów pewnego trójkąta pozostają w stosunku $3:4:5$.

Informacje do dwóch kolejnych zadań.

Na osi liczbowej zaznaczono punkty $P$, $R$ i $S$ (zobacz rysunek). Kreski dzielą odcinek $PS$ na $9$ równych części, a przy dwóch kreskach podpisano liczby $4$ i $19$.

O kątach $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ pewnego trójkąta wiadomo, że $\alpha+\beta=145^\circ$ oraz $\beta+\gamma=105^\circ$.

Trapez $KLMN$ ma podstawy $KL$ i $NM$ oraz wysokość $NH$. Półprostą $KL$ przedłużono poza punkt $L$ do punktu $P$ i połączono punkty $P$ i $M$. Wymiary trapezu podano na rysunku.

W trapezie prostokątnym kąt ostry przy dłuższej podstawie ma miarę $45^\circ$.

Pole trapezu równoramiennego $KLMN$ wynosi $120\ \text{cm}^2$. Wysokość $NP$ dzieli ten trapez na trójkąt $KPN$ oraz trapez $PLMN$ (zobacz rysunek). Wiadomo, że $|KP|=5$ cm, a górna podstawa $NM$ jest trzykrotnie dłuższa od odcinka $KP$.

Punkt $P$ leży na boku $NM$ prostokąta $KLMN$. Odcinki $KP$ i $KM$ dzielą ten prostokąt na trzy trójkąty: $KNP$, $KPM$ oraz $KLM$ (zobacz rysunek). Wiadomo, że $|NP|=9\ \text{cm}$ i $|KN|=12\ \text{cm}$, a kąty $PKM$ i $KMP$ mają jednakową miarę $\alpha$.

W trapezie $KLMN$ o podstawach $KL$ i $NM$ punkt $P$ leży na podstawie $KL$, a odcinek $PM$ jest równoległy do ramienia $KN$. Kąt $KNM$ ma miarę $124^\circ$, a kąt $KLM$ ma miarę $72^\circ$ (zobacz rysunek).

Ola ułożyła na stole trzy jednakowe trójkąty prostokątne z tektury. Przyprostokątne każdego z nich mają długości $6$ cm i $8$ cm. Trójkąty utworzyły trapez $ABCD$ pokazany na rysunku.

Proste $a$, $b$ i $c$ są równoległe. Prosta $d$ jest prostopadła do prostej $e$, a ich punkt wspólny $P$ leży na prostej $b$. Na rysunku podano miarę jednego z kątów i oznaczono kąt $\alpha$.

Marek narysował prostokąt, a następnie na jego dłuższym boku dorysował trójkąt równoboczny, a na krótszym boku dorysował kwadrat. Obwód dorysowanego trójkąta wynosi $30$ cm, a obwód dorysowanego kwadratu wynosi $24$ cm.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o bokach długości $3$ cm, $4$ cm i $5$ cm. Ten trójkąt narysowano w skali $3:1$ i otrzymano trójkąt $KLM$.

Na rysunku przedstawiono trójkąt $KLM$. Długości jego boków zapisano jako wyrażenia zależne od $x$. Wiadomo, że bok $LM$ ma taką samą długość jak bok $KM$.

Ola wycięła z papieru trójkąt prostokątny $KLM$, którego przyprostokątne mają $18\ \text{cm}$ i $24\ \text{cm}$ (rysunek I). Przerywana linia na rysunku I łączy środek krótszej przyprostokątnej ze środkiem przeciwprostokątnej i jest równoległa do dłuższej przyprostokątnej. Ola rozcięła trójkąt wzdłuż tej linii i z otrzymanych dwóch części ułożyła trapez $PRST$ (rysunek II).

Trójkąt $PQR$ na rysunku jest równoramienny, a jego ramionami są boki $PR$ i $QR$. Kąt $PRQ$ między ramionami jest czterokrotnie większy od kąta $PQR$ przy podstawie.

Na rysunku przedstawiono okrąg o środku $S$ i promieniu $9\ \text{cm}$ oraz trójkąt $KSL$, którego wierzchołki $K$ i $L$ leżą na tym okręgu. Cięciwa $KL$ ma długość $14\ \text{cm}$.

Punkt $P$ należy do boku $LM$ trójkąta $KLM$, a odcinki $KP$ i $LP$ są jednakowej długości. Wiadomo, że kąt $KML$ ma $41^\circ$, a kąt $KPM$ ma $116^\circ$, jak pokazano na rysunku.

Kąty pewnego trójkąta oznaczono literami $\alpha$, $\beta$ oraz $\gamma$. Wiadomo, że kąt $\gamma$ ma taką miarę jak kąty $\alpha$ i $\beta$ razem wzięte, czyli $\gamma=\alpha+\beta$. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.

Zosia wie, że suma miar kątów wewnętrznych czworokąta jest równa $360^\circ$, i na tej podstawie zapisała trzy wnioski.

Rysunek przedstawia oś liczbową, na której zaznaczono trzy punkty: $A$, $B$ oraz $C$. Znane są współrzędne punktów $A$ i $B$. Punkty te leżą tak, że odcinek $AC$ został podzielony na $7$ równych części.

Prostokątne pole o powierzchni $4800\ \text{m}^2$ podzielono na cztery prostokątne poletka o jednakowych wymiarach, w sposób przedstawiony na rysunku.

Boki trójkąta równobocznego mają po $6\ \text{cm}$ długości. Z jednego z wierzchołków poprowadzono wysokość $h$, która dzieli figurę na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Bok rombu $KLMN$ ma długość $15$ cm, a jego przekątna $LN$ ma długość $18$ cm. Na rysunku zaznaczono tę przekątną oraz odcinek $NP$ prostopadły do boku $KL$, czyli wysokość rombu.

Informacje do dwóch kolejnych zadań.

Na rysunku w układzie współrzędnych zaznaczono punkty $A$, $B$, $C$, $D$ oraz $E$, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi. Wiadomo, że $A=(2,-3)$.

Prostokątny pasek papieru o wymiarach $16\ \text{cm}$ na $4\ \text{cm}$ jest z jednej strony niebieski, a z drugiej biały. Pasek zgięto wzdłuż odcinka $DC$ tak, jak pokazano na rysunku. Widoczna niebieska część paska jest prostokątem.

Kuba zaznaczył na kartce w kratkę dwa punkty: $A=(-6,3)$ oraz $S=(1,-1)$. Następnie narysował odcinek $AB$ tak, że punkt $S$ jest jego środkiem.

Ola narysowała w układzie współrzędnych dwa odcinki: $AB$ o końcach $A=(-3,2)$ i $B=(7,8)$ oraz $CD$ o końcach $C=(1,-1)$ i $D=(5,11)$. Wszystkie współrzędne tych punktów są liczbami całkowitymi.