Matura rozszerzona - maj 2019 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq -2$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$, takich że $x\lt y$, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest nierówność $$\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2.$$

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Na ramieniu $AC$ tego trójkąta wybrano punkt $M$ ($M\neq A$ i $M\neq C$), a na ramieniu $BC$ wybrano punkt $N$ w taki sposób, że $|AM|=|CN|$. Przez punkty $M$ i $N$ poprowadzono proste prostopadłe do podstawy $AB$ tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty $S$ i $T$. Udowodnij, że $$|ST|=\frac{1}{2}|AB|.$$

Ciąg $(a,b,c)$ jest geometryczny, ciąg $(a+1,b+5,c)$ jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz $a+b+c=39$. Oblicz $a$, $b$, $c$.

Dane są okręgi o równaniach $$x^2+y^2-12x-8y+43=0$$ oraz $$x^2+y^2-2ax+4y+a^2-77=0.$$ Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Wielomian określony wzorem $$W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2-11x-2(2m+1)$$ jest podzielny przez dwumian $(x-2)$ oraz przy dzieleniu przez dwumian $(x+1)$ daje resztę $6$. Oblicz $m$ oraz pierwiastki wielomianu $W$ dla wyznaczonej wartości $m$.

Rozwiąż równanie $$\cos 2x=\sin x+1$$ w przedziale $[0;\ 2\pi]$.

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ oraz $|AC|=16$, $|AD|=6$, $|CD|=14$ i $|BC|=|BD|$. Oblicz obwód trójkąta $ABC$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $$f(x)=(2m+1)x^2+(m+2)x+m-3$$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $$(x_1-x_2)^2+5x_1x_2\geq 1.$$

Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt $ABCD$, którego boki mają długości $|AB|=32$ i $|BC|=18$. Ściany boczne $ABS$ i $CDS$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem $\alpha$. Ściany boczne $BCS$ i $ADS$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\beta$. Miary kątów $\alpha$ i $\beta$ spełniają warunek $\alpha+\beta=90^\circ$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Trzywyrazowy ciąg $(a,b,c)$ o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg $$\left(\frac{1}{a},\frac{2}{3b},\frac{1}{2a+2b+c}\right)$$jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Wielomian określony wzorem $$W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2-11x-2(2m+1)$$jest podzielny przez dwumian $(x-2)$ oraz przy dzieleniu przez dwumian $(x+1)$ daje resztę $6$. Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x)\leq 0$.

Rozwiąż równanie $$(\cos x)\left[\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right]=\frac{1}{2}\sin x.$$

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $V=2$. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.