Matura rozszerzona - czerwiec 2017 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Równanie $\left|\left|x-4\right|-2\right|=2$ ma dokładnie:

Liczba $\log_4 25+\log_2 10$ jest równa:

Punkt $P^{\prime}=(3,-3)$ jest obrazem punktu $P=(1,3)$ w jednokładności o środku w punkcie $S=(-2,12)$. Skala tej jednokładności jest równa:

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x}{2x-8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 4$. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu $x=\sqrt{2}+4$ jest równa:

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\frac{1}{4}$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

Funkcja kwadratowa $f(x)=-x^2+bx+c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1=-1$ i $x_2=12$. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$5x^2+y^2-4xy+6x+9\ge 0.$$

Miary kątów trójkąta $ABC$ są równe $\alpha=\lvert\angle BAC\rvert$, $\beta=\lvert\angle ABC\rvert$ i $\gamma=\lvert\angle ACB\rvert$. Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki $AS$ i $BS$ przecinają boki $BC$ i $AC$ tego trójkąta w punktach odpowiednio $D$ i $E$.

Wykaż, że jeżeli $\alpha+\beta=2\gamma$, to na czworokącie $DCES$ można opisać okrąg.

Z cyfr $0$, $1$, $2$ tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez $15$. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(b_n)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz $a_1$ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego $(b_n)$. Wyrazy ciągu $(a_n)$ są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $124$. Natomiast pierwszy wyraz $b_1$ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_n)$ jest równa $18$. Wyznacz te ciągi.

Rozwiąż równanie $$3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$ w przedziale $(0,2\pi)$.

Prosta $l$, na której leży punkt $P=(8,2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym $36$. Wyznacz równanie prostej $l$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^2-3mx+2m^2+1=0$$ ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału $(-\infty,3)$.

Trapez równoramienny $ABCD$ o ramieniu długości $6$ wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa $AB$ trapezu, o długości $12$, jest średnicą tego okręgu. Przekątne $AC$ i $BD$ trapezu przecinają się w punkcie $P$. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt $ABP$.

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości $8$, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy $1:2$ oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od $28$. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.