Matura podstawowa - sierpień 2025 - arkusz maturalny

Liczba $\left|\sqrt{5}-3\right|+\left|\sqrt{5}-1\right|$ jest równa

Liczba $\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}$ jest równa

Liczba $\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}$ jest równa

Liczba $\log_{3}2-\log_{3}18$ jest równa

Wykaż, że liczba $8^{50}-2^{145}$ jest podzielna przez $31$.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ wartość wyrażenia $(3x+y)^2-(3x-y)^2$ jest równa wartości wyrażenia

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $$3-x\ge\frac{5x-1}{2}$$ jest przedział

Dane jest równanie $$\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8}\text{, gdzie }x\neq\frac{7}{3}\text{ i }x\neq 8.$$

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $\left(\dfrac{5}{4},+\infty\right)$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność $$-3x^2>6x-9.$$ Zapisz obliczenia.

Suma wszystkich rozwiązań równania $(3x-12)(10+5x)(x-3)=0$ jest równa

Właściciel restauracji kupił $75$ kilogramów pomidorów: $x$ kg pomidorów malinowych w cenie $11$ złotych za kilogram oraz $y$ kg pomidorów cherry w cenie $7{,}98$ złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie $752{,}52$ złotych.

Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$$f(x)=\begin{cases}-2x-10 & \text{dla }x\in(-5,-3]\\ x-1 & \text{dla }x\in(-3,4]\end{cases}$$

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Miejscem zerowym funkcji liniowej $g$ jest liczba $(-3)$. Dla argumentu $0$ funkcja $g$ przyjmuje wartość $\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$, gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $x=1$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\dfrac{32\cdot(-1)^n}{2^{n-1}}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Różnica tego ciągu jest równa $(-4)$ oraz $a_{10}=-24$.

Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg geometryczny $(a_n)$, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od $0$, jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_3=-8\cdot a_6$.

Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Trzywyrazowy ciąg $\left(\sqrt{5},\,1,\,x\right)$ jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg $\left(\sqrt{5},\,1,\,y\right)$ jest geometryczny.

Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos\alpha=\dfrac{5}{13}$.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Liczba $\sin 30^\circ\cdot\cos 60^\circ+\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ$ jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$ i o promieniu $36$. Punkt $S$ leży na odcinku $BD$. Kąt $BDA$ ma miarę $40^\circ$, a kąt $DBC$ ma miarę $65^\circ$ (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=6$, $|AC|=4$ oraz $|\angle CAB|=60^\circ$ (zobacz rysunek).

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $|AB|=2\cdot|CD|$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$$k:\;y=(3-m)x+5$$

$$l:\;y=(m+3)x-4$$

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa ……… .

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu

$$\mathcal{O}:\;(x-1)^2+(y+3)^2=4$$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Wysokość podstawy $ABC$ jest równa $2\sqrt{3}$. Przekątna $AE$ ściany bocznej $ABED$ tworzy z krawędzią $AB$ kąt o mierze $60^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Objętość walca o promieniu podstawy $2$ jest równa $16\pi^2$.

Wysokość tego walca jest równa

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od $500$, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga - cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez $3$. Zapisz obliczenia.

W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ……… .

2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ……… .

3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ……… procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.

Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:

przy wyjściowej cenie wynoszącej $120$ zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte; każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $5$ zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $1$.

Przyjmijmy, że dobowy przychód $P$ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $5x$ złotych, opisuje funkcja

$$P(x)=(80-x)(120+5x)$$

gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x\ge 0$ i $x\le 80$.

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.