Matura rozszerzona - maj 2012 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.

Rozwiąż nierówność $x^4+x^2\geq 2x$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x+2=3\cos x$.

Oblicz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-(m+2)x+m+4=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$ takie, że $x_1^4+x_2^4=4m^3+6m^2-32m+12$.

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy $8$, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy $64$, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty $P$ postaci $P=\left(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2},m\right)$, gdzie $m\in[-1,7]$. Oblicz najmniejszą i największą wartość $|PQ|^2$, gdzie $Q=\left(\frac{55}{2},0\right)$.

Udowodnij, że jeżeli $a+b\geq 0$, to prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\geq a^2b+ab^2$.

Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy $12$.

Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AB|=a$, $|BC|=b$ i $a>b$. Odcinek $AE$ jest wysokością trójkąta $DAB$ opuszczoną na jego bok $BD$. Wyraź pole trójkąta $AED$ za pomocą $a$ i $b$.

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$. Krawędź $AS$ jest wysokością ostrosłupa oraz $|AS|=8\sqrt{210}$, $|BS|=118$, $|CS|=131$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zdarzenia losowe $A$, $B$ są zawarte w $\Omega$ oraz $P(A\cap B')=0{,}7$ ($A'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$, a $B'$ zdarzenie przeciwne do zdarzenia $B$). Wykaż, że $P(A'\cap B)\leq 0{,}3$.