Matura rozszerzona - maj 2017 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Liczba $\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2$ jest równa:

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

$$a_n=\frac{(n^2-10n)(2-3n)}{2n^3+n^2+3}$$

dla $n\geq1$. Wtedy:

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta $ABC$, w którym $|AD|=|CD|=\frac{1}{2}|BC|$ (zobacz rysunek). Okrąg o środku $C$ i promieniu $CD$ jest styczny do prostej $AB$. Okrąg ten przecina boki $AC$ i $BC$ trójkąta odpowiednio w punktach $K$ i $L$.

Zaznaczony na rysunku kąt $\alpha$ wpisany w okrąg jest równy:

Dane są punkt $B=(-4,7)$ i wektor $\vec{u}=[-3,5]$. Punkt $A$, taki że $\overrightarrow{AB}=-3\vec{u}$, ma współrzędne:

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+ax+\frac{3}{4}$ przez dwumian $x-2$ jest równa $1$.

Oblicz wartość współczynnika $a$.

W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P=(1,0)$.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność

$$x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4>0$$

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ bok $AB$ ma długość $c$, długość boku $BC$ jest równa $a$ oraz $\angle ABC=\beta$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ trójkąta w punkcie $E$. Wykaż, że długość odcinka $BE$ jest równa

$$\frac{2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c}$$

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają długość $6$, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na ostrosłup o objętości równej $\frac{8}{27}$ objętości czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka $S$ kuli od płaszczyzny $\pi$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x+3\cos x=-2$ w przedziale $[0,2\pi]$.

W pudełku znajduje się $8$ piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od $1$ do $8$. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy jej numer, a następnie zwracamy piłeczkę do pudełka. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez $4$. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$$4x^2-6mx+(2m+3)(m-3)=0$$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, przy czym $x_1\lt x_2$, spełniające warunek

$$(4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0$$

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A=(-5,3)$ i $B=(0,6)$, którego środek leży na prostej o równaniu $x-3y+1=0$.

Liczby $a$, $b$, $c$ są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa $27$. Ciąg $(a-2,b,2c+1)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a$, $b$, $c$.

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej $P$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.