Matura podstawowa - maj 2009 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Funkcja $f$ określona jest wzorem:

$$f(x)=\begin{cases}2x-3 & \text{dla } x<2,\\1 & \text{dla } 2\le x\le 4.\end{cases}$$

Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie $980$ detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona $m$, a drugi $n$ detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu $7$ dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o $8$ dni dłużej niż planował, nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali. Oblicz $m$ i $n$.

Wykres funkcji $f$ danej wzorem $f(x)=-2x^2$ przesunięto wzdłuż osi $Ox$ o $3$ jednostki w prawo oraz wzdłuż osi $Oy$ o $8$ jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji $g$.

Wykaż, że liczba $3^{54}$ jest rozwiązaniem równania:

$$243^{11}-81^{14}+7x=9^{27}.$$

Wielomian $W$ dany jest wzorem:

$$W(x)=x^3+ax^2-4x+b.$$

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa $\alpha$.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ dla $n\ge 1$, w którym $a_7=1$ oraz $a_{11}=9$.

W trapezie $ABCD$ długość podstawy $CD$ jest równa $18$, a długości ramion trapezu $AD$ i $BC$ są odpowiednio równe $25$ i $15$. Kąty $ADB$ i $DCB$, zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

Punkty $B=(0,10)$ i $O=(0,0)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego $OAB$, w którym $\angle OAB=90^\circ$. Przyprostokątna $OA$ zawiera się w prostej o równaniu $y=\frac{1}{2}x$. Oblicz współrzędne punktu $A$ i długość przyprostokątnej $OA$.

Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość $12$ i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze $30^\circ$.