Matura podstawowa - grudzień 2004 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Janek ma w tym semestrze następujące oceny z języka polskiego: $5, 5, 3, 4, 3, 3, 4$.

Pożyczkę w wysokości $8700$ zł zaciągniętą w banku należy spłacić w $12$ ratach, z których każda następna jest mniejsza od poprzedniej o $50$ zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty.

Funkcja $f$ jest określona wzorem:

$$f(x)=ax^2+bx+1\quad\text{dla }x\in\mathbb{R}.$$

Aby wyznaczyć równanie symetralnej odcinka o końcach $A=(-1,4)$ i $B=(3,-2)$, postępujemy w następujący sposób:

• wybieramy dowolny punkt $P=(x,y)$ należący do symetralnej odcinka $AB$ i korzystamy z własności symetralnej: $|AP|=|BP|\Longleftrightarrow |AP|^2=|BP|^2$;
• ponieważ $|AP|^2=(x+1)^2+(y-4)^2$ oraz $|BP|^2=(x-3)^2+(y+2)^2$, zapisujemy równanie $$(x+1)^2+(y-4)^2=(x-3)^2+(y+2)^2;$$
• po przekształceniu otrzymujemy równanie $2x-3y+1=0$, które jest równaniem symetralnej odcinka $AB$.

Postępując w analogiczny sposób, wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach $C=(4,6)$ i $D=(6,-2)$.

Wielkość prostokątnego ekranu telewizora określa długość jego przekątnej wyrażona w calach. Oblicz, o ile procent zwiększymy powierzchnię ekranu, jeśli długość przekątnej wynoszącą $21$ cali powiększymy do $32$ cali, zachowując stosunek długości boków prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do $0{,}1\%$.

Ciąg $(a_n)$ określony jest wzorem:

$$a_n=n^3-10n^2+31n-30.$$

Wiedząc, że $a_2=0$, wyznacz wszystkie pozostałe wyrazy tego ciągu równe zero.

Dana jest funkcja określona za pomocą zbioru par uporządkowanych:

$$\{(x,x^2+1):x\in\mathbb{N}_+\ \text{i}\ x\leq 7\}.$$

Metalową kulę o promieniu długości $10$ cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio $16$ cm i $12$ cm, przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm. Oblicz wysokość tego walca.

Opisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich punktów należących do trójkąta $ABC$ przedstawionego na rysunku. Oblicz pole tego trójkąta.

W pudełku znajdują się żetony. Wśród nich jest $6$ żetonów o nominale $5$ zł oraz $n$ żetonów o nominale $10$ zł. Losujemy z pudełka dwa żetony. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu obu żetonów o nominale $10$ zł jest równe $\frac{1}{2}$. Oblicz $n$.

Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, wiedząc, że pole jego podstawy jest równe $6\sqrt{3}$, a pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe $12$. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim szukany kąt.