Matura podstawowa - grudzień 2021 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Liczba $(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}$ jest równa

Liczba $2\log_5 4-3\log_5\frac{1}{2}$ jest równa

Medyczna maseczka ochronna wielokrotnego użytku z wymiennymi filtrami wskutek podwyżki zdrożała o $40\%$ i kosztuje obecnie $106{,}40$ zł. Cena maseczki przed podwyżką była równa

Dla każdej dodatniej liczby $b$ wyrażenie $\left(\sqrt{b}\cdot\sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}}$ jest równe

Para liczb $x=1$, $y=-3$ spełnia układ równań $$\begin{cases}x-y=a^2\\(1+a)x-3y=-4a\end{cases}$$ Wtedy $a$ jest równe

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania $2(x-4)(x^2-1)=0$ jest równy

Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{12-5x}{2}<3\left(1-\frac{1}{2}x\right)+7x$ jest

Funkcja liniowa $f(x)=(a-1)x+3$ osiąga wartość najmniejszą równą $3$. Wtedy

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{8x-7}{2x^2+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wartość funkcji $f$ dla argumentu $1$ jest równa

Ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy $64$. Stąd wynika, że $y$ jest równe

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa $5$, a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $-3$. Wtedy iloraz $\frac{a_4}{a_2}$ jest równy

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $O$. Miara kąta $CAO$ jest równa $70^\circ$.

Wtedy miara kąta $ABC$ jest równa

Ciągi $(a_n)$, $(b_n)$ oraz $(c_n)$ są określone dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ następująco:

• $a_n=6n^2-n^3$
• $b_n=2n+13$
• $c_n=2^n$

Wskaż zdanie prawdziwe.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-2)^n\cdot n+1$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Wtedy trzeci wyraz tego ciągu jest równy

W romb o boku $2\sqrt{3}$ i kącie $60^\circ$ wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego $ABC$ poprowadzono prostą $DE$ równoległą do podstawy $AB$.

Stosunek pola trójkąta $ABC$ do pola trójkąta $CDE$ jest równy

Końcami odcinka $PR$ są punkty $P=(4,7)$ i $R=(-2,-3)$. Odległość punktu $T=(3,-1)$ od środka odcinka $PR$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin\alpha=\frac{4}{5}$. Wtedy

Dane są punkty $M=(6,0)$, $N=(6,8)$ oraz $O=(0,0)$. Tangens kąta ostrego $MON$ jest równy

Proste o równaniach $y=3ax-2$ i $y=2x+3a$ są prostopadłe. Wtedy $a$ jest równe

Dany jest trapez $ABCD$, w którym boki $AB$ i $CD$ są równoległe oraz $C=(3,5)$. Wierzchołki $A$ i $B$ tego trapezu leżą na prostej o równaniu $y=5x+3$. Wtedy bok $CD$ tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu

W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawy $AB$ i $CD$ mają długości równe odpowiednio $a$ i $b$, przy czym $a>b$. Miara kąta ostrego trapezu jest równa $30^\circ$. Wtedy wysokość tego trapezu jest równa

Przekątna sześcianu ma długość $5\sqrt{3}$. Wtedy objętość tego sześcianu jest równa

Ostrosłupy prawidłowe trójkątne $O_1$ i $O_2$ mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa $O_1$ jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa $O_2$. Stosunek objętości ostrosłupa $O_1$ do objętości ostrosłupa $O_2$ jest równy

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra $7$ występuje dokładnie jeden raz, jest

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $5$, jest równe

Liczba $x$ jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb: $1+x$, $1+2x$, $4+3x$, $1$, jest równa $10$. Wtedy

Rozwiąż nierówność:

$$3x(x+1)>x^2+x+24.$$

Rozwiąż równanie:

$$\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2.$$

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości $a$ i $b$. Punkt $O$ leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta.

Wykaż, że promień $r$ tego okręgu jest równy $\frac{ab}{a+b}$.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}$. Oblicz wartość wyrażenia $2\sin\alpha\cos\alpha$.

Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=|CD|=|AD|=13$. Przekątna $BD$ tego czworokąta ma długość $10$ i jest prostopadła do boku $AD$. Oblicz pole czworokąta $ABCD$.

Funkcja kwadratowa $f(x)=x^2+bx+c$ nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że $1+c>b$.

Rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa $10$. Wyrazy $a_3$, $a_5$, $a_{13}$ tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$.