Matura podstawowa - sierpień 2019 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Liczba $\log_{\sqrt{7}} 7$ jest równa

Kwadrat liczby $8-3\sqrt{7}$ jest równy

Jeżeli $75\%$ liczby $a$ jest równe $177$ i $59\%$ liczby $b$ jest równe $177$, to

Równanie $x(5x+1)=5x+1$ ma dokładnie

Para liczb $x=3$ i $y=1$ jest rozwiązaniem układu równań

$$\begin{cases}-x+12y=a^2\\2x+ay=9\end{cases}$$

dla

Równanie $\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0$ ma dokładnie

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=9-(3-x)^2$ są liczby

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $g$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,1)$.

Zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział

Liczbą większą od $5$ jest

Punkt $A=(a,3)$ leży na prostej określonej równaniem $y=\frac{3}{4}x+6$. Stąd wynika, że

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\geq 1$, dane są dwa wyrazy: $a_1=-11$ i $a_9=5$. Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n\geq 1$, są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy $162$, a piąty wyraz jest równy $48$. Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy

Cosinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac{12}{13}$. Wtedy

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Na podstawie $AB$ tego trójkąta leży punkt $D$, taki że $|AD|=|CD|$, $|BC|=|BD|$ oraz $\angle BCD=72^\circ$.

Wynika stąd, że kąt $ACD$ ma miarę

Okrąg, którego środkiem jest punkt $S=(a,5)$, jest styczny do osi $Oy$ i do prostej o równaniu $y=2$. Promień tego okręgu jest równy

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta $SAC$ jest równa

Proste o równaniach $y=(4m+1)x-19$ oraz $y=(5m-4)x+20$ są równoległe, gdy

W układzie współrzędnych punkt $S=(40,40)$ jest środkiem odcinka $KL$, którego jednym z końców jest punkt $K=(0,8)$. Zatem

Punkt $P=(-6,-8)$ przekształcono najpierw w symetrii względem osi $Ox$, a potem w symetrii względem osi $Oy$. W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt $Q$. Zatem

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest pięć punktów: $A=(1,4)$, $B=(-5,-1)$, $C=(-5,3)$, $D=(6,-4)$, $P=(-30,-76)$. Punkt $P$ należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt

Dany jest prostopadłościan o wymiarach $30\text{ cm}\cdot 40\text{ cm}\cdot 120\text{ cm}$, a ponadto dane są cztery odcinki $a$, $b$, $c$, $d$, o długościach odpowiednio $119\text{ cm}$, $121\text{ cm}$, $129\text{ cm}$ i $131\text{ cm}$.

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest $3$ razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy $2$ i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych $3$, $10$, $5$, $x$, $x$, $x$, $x$, $12$, $19$, $7$ jest równa $12$. Mediana tych liczb jest równa

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry $1$, $2$, $3$, jest

W grupie $60$ osób, kobiet i mężczyzn, jest $35$ kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe

Rozwiąż równanie $(x^2-16)(x^3-1)=0$.

Rozwiąż nierówność $2x^2-5x+3\leq 0$.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ prawdziwa jest nierówność $x+\frac{1-x}{x}\geq 1$.

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$, a środek $S$ tego okręgu leży na boku $AB$ trójkąta. Prosta $BC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $C$, a ponadto $|AC|=r\sqrt{3}$. Wykaż, że kąt $ACB$ ma miarę $120^\circ$.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek należącą do zbioru $\{1,3,5,7,9\}$ i jednocześnie cyfrę jedności należącą do zbioru $\{0,2,4,6,8\}$.

Przekątne rombu $ABCD$ przecinają się w punkcie $S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)$. Punkty $A$ i $C$ leżą na prostej o równaniu $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}$. Wyznacz równanie prostej $BD$.

W ciągu arytmetycznym $(a_1,a_2,\ldots,a_{39},a_{40})$ suma wyrazów o numerach parzystych jest równa $1340$, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa $1400$. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Środek okręgu leży w odległości $10\text{ cm}$ od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o $22\text{ cm}$ większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ jest równa $12$. Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt $\alpha$ taki, że $\tan\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.