Matura podstawowa - czerwiec 2023 - arkusz maturalny

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność $|x+5|<15$ jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ iloczyn $\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}$ jest równy

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^2+7k-2$ przez $7$ jest równa $5$.

Klient wpłacił do banku $30\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $7\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $(1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $0$ i $2$ wyrażenie $\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}$ jest równe

Rozwiąż nierówność $$x(2x-1)<2x$$ Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$x^3+4x^2-9x-36=0$$ Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresy funkcji liniowych $f(x)=(2m+3)x+5$ oraz $g(x)=-x$ nie mają punktów wspólnych dla

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $y=ax+b$ przechodzi przez punkty $A=(-3,-1)$ oraz $B=(4,3)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik $a$ w równaniu tej prostej jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax^2+bx+1$, gdzie $a$ oraz $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że $a<0$ i $b>0$. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji $f$ przedstawiono na rysunku

Masa $m$ leku $\mathcal{L}$ zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą $$m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}$$ gdzie $m_0$ oznacza masę przyjętej dawki leku wyrażoną w mg w chwili $t=0$, a $t$ oznacza czas wyrażony w godzinach liczony od momentu zażycia leku.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{n-2}{3}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od $10$ jest równa

Trzywyrazowy ciąg $(1,4,a+5)$ jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. W tym ciągu $a_1=3{,}75$ oraz $a_2=-7{,}5$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha$ jest równe

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30^\circ$, $45^\circ$ oraz $105^\circ$. Długości boków trójkąta leżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - $a$, $b$ oraz $c$.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Prosta $l$ przecina ten okrąg w punktach $B$ i $C$. Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $D$, przy czym $|BC|=4$ i $|CD|=3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu $A$ od prostej $l$ jest równa

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne przecinają się w punkcie $E$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Na łukach $AB$ i $CD$ okręgu są oparte kąty wpisane $ADB$ i $DBC$, takie, że $|\angle ADB|=20^\circ$ i $|\angle DBC|=40^\circ$. Cięciwy $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $K$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $DKC$ jest równa

Pole trójkąta równobocznego $T_1$ jest równe $\frac{(1{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}$. Pole trójkąta równobocznego $T_2$ jest równe $\frac{(4{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt $T_2$ jest podobny do trójkąta $T_1$ w skali

ponieważ

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $40\sqrt{6}$. Bok $AD$ tego równoległoboku ma długość $10$, a kąt $ABC$ równoległoboku ma miarę $135^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $AB$ jest równa

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-x+1$. Funkcja $g$ jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $P=(0,-1)$ i jest prostopadły do wykresu funkcji $f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzorem funkcji $g$ jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(-1,5)$ oraz $C=(3,-3)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu $ABCD$ jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są punkty $A=(1,7)$ oraz $P=(3,1)$. Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ tak, że $|AP|:|PB|=1:3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt $B$ ma współrzędne

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku $6$. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEF A'B'C'D'E'F'$, w którym krawędź podstawy ma długość $5$. Przekątna $AD'$ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej $3$ jest

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od $1$ do $8$ - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie.

Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby $8$.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$. Zapisz obliczenia.

Działka ma kształt trapezu. Podstawy $AB$ i $CD$ tego trapezu mają długości $|AB|=400\text{m}$ oraz $|CD|=100\text{m}$. Wysokość trapezu jest równa $75\text{m}$, a jego kąty $DAB$ i $ABC$ są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie $AB$ tego trapezu, a dwa pozostałe - $E$ oraz $F$ - na ramionach $AD$ i $BC$ trapezu.

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu $ABCD$ jest sumą pól trapezów $ABFE$ oraz $EFCD$: $$P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}$$