Matura podstawowa - maj 2002 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Dana jest prosta $l$ o równaniu $y=\frac{3}{2}x-\sqrt{2}$ oraz punkt $A=(-3,-2)$. Wykres funkcji liniowej $f$ jest prostopadły do prostej $l$, a punkt $A$ należy do wykresu funkcji $f$.

Wyznacz:

1. wzór funkcji $f$,
2. miejsce zerowe funkcji $f$.

Dany jest wektor $\overrightarrow{AB}=[-3,4]$ oraz punkt $A=(1,-2)$.

Oblicz:

1. współrzędne punktu $B$,
2. współrzędne i długość wektora $\vec{v}=-2\cdot\overrightarrow{AB}$.

W klasie liczącej 30 uczniów dziewięciu obejrzało film pt. „Nasz XXI wiek”. Wychowawca klasy otrzymał 4 bilety i zamierza wylosować uczniów, których zaprosi na projekcję tego filmu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród czterech wylosowanych z tej klasy uczniów nie ma ucznia, który już ten film oglądał.

W pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki. Tabela przedstawia zestawienie wyników testu:

1. Sporządź diagram słupkowy przedstawiający zestawienie wyników testu.
2. Oblicz średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
3. Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej arytmetycznej ocen.

Ania przeczytała książkę science-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron, a w ostatnim 68?

Jeżeli $x_1=2$, $x_2=3$ i $x_3=-1$ są miejscami zerowymi wielomianu $W(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, gdzie $a\neq0$, oraz $W(4)=2$, to współczynnik $a$ można wyznaczyć w następujący sposób:

Wielomian $W$ zapisujemy w postaci iloczynowej: $$W(x)=a(x-2)(x-3)(x+1).$$ Wykorzystując warunek $W(4)=2$, otrzymujemy równanie $$2=a(4-2)(4-3)(4+1),$$ stąd $$a=\frac{1}{5}.$$

Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik $a$ wielomianu $W(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, wiedząc, że jego miejsca zerowe to $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=2$ oraz $W(-1)=3$.

Planując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano $30\%$ zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o $60$ złotych mniej niż w pierwszym, a w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień zostało $270$ złotych. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie.

Funkcja kwadratowa $f(x)=ax^2+bx-3$, gdzie $b>0$, posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy $-3$. Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą $-4$, wyznacz:

1. współczynniki $a$ i $b$,
2. miejsca zerowe funkcji $f$.

Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku na planie w skali $1:1500$ jest równa $12$ cm i jeden z kątów ma miarę $120^\circ$. W szkółce leśnej zamówiono sadzonki w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości $40$ arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.

Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa $4$ dm i wysokość ma długość $\frac{18}{\pi}$ dm, oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $4\sqrt{3}$ dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.