Matura podstawowa - marzec 2022 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\log_7 98-\log_7 2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra $2$, jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wartość wyrażenia $(3+4a)^2-(3-4a)^2$ jest równa

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ

Dany jest wielomian $$W(x)=3x^3+kx^2-12x-7k+12,$$ gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba $-2$ jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $$\frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1{,}5)(x+6)}=0$$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych

Spośród rysunków A-D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $$|x+1|\le 2.$$

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $n^2+2023$ jest podzielna przez $8$.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $f$ oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Dana jest funkcja liniowa $f$ określona wzorem $$f(x)=ax+b,$$ gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji $f$ przedstawiono na rysunku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynniki $a$ i $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny $P$ swojego produktu na liczbę $Q$ kupujących ten produkt. Każdorazowe zwiększenie ceny o $1$ jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o $3$ jednostki. Ponadto przy cenie równej $5$ jednostek liczba kupujących jest równa $12$ jednostek.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór

Czas $T$ półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę po przyjęciu jednorazowej dawki. Po przyjęciu jednej dawki masa $m$ leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością $$m(t)=m_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}},$$ gdzie $m_0$ oznacza masę przyjętej dawki, $T$ - czas półtrwania leku, a $t$ - czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

W przypadku przyjęcia kilku dawek masy leku pozostałe z poprzednich dawek sumują się i dają całkowitą aktualną masę leku w organizmie.

Pacjent otrzymuje co $4$ dni o tej samej godzinie dawkę $m_0=100$ mg leku $L$. Czas półtrwania tego leku jest równy $T=4$ doby.

Klient wpłacił do banku $20\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $3\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po $2$ latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie, bez uwzględniania podatków, jest równa

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $$a_n=-3n+5$$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=6$, $|BC|=5$, $|AC|=10$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dany jest okrąg o środku $S=(2,-5)$ i promieniu $r=3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie tego okręgu ma postać

Odcinki $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $O$. W trójkątach $ABO$ i $ODC$ zachodzą związki: $|AO|=5$, $|BO|=3$, $|OC|=10$ oraz $|\angle OAB|=|\angle OCD|$.

Oblicz długość boku $OD$ trójkąta $ODC$. Zapisz obliczenia.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $$y=-3x+1.$$

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest kwadrat $ABCD$. Wierzchołki $A=(-2,1)$ i $C=(4,5)$ są końcami przekątnej tego kwadratu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej kwadratu $ABCD$ jest równa

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu $r=8$. Cięciwa $AC$ ma długość $8\sqrt3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $BAC$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $$4\tan\alpha=3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha.$$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Dane są dwa trójkąty podobne $ABC$ i $KLM$ o polach równych odpowiednio $P$ oraz $2P$. Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $x$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.

Obwód trójkąta $KLM$ jest równy

ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy

1. kwadratowi stosunku pól tych trójkątów,
2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów,
3. stosunkowi pól tych trójkątów.

Punkty $A$ oraz $B$ leżą na okręgu o środku $O$. Proste $k$ i $l$ są styczne do tego okręgu odpowiednio w punktach $A$ i $B$. Proste przecinają się w punkcie $S$ i tworzą kąt o mierze $76^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $OBA$ jest równa

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano prostokąt $ABCD$, w którym bok $BC$ odpowiada krawędzi rozcięcia, czyli wysokości graniastosłupa. Przekątna $AC$ ma długość $16$ i tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $30^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCS$ o podstawie $ABC$. Punkty $D$, $E$ i $F$ są środkami odpowiednio krawędzi bocznych $AS$, $BS$ i $CS$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości ostrosłupa $DEFS$ do objętości ostrosłupa $ABCS$ jest równy

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$.

Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt $\alpha$ pomiędzy ścianą boczną $ACFD$ i przekątną $AE$ ściany bocznej $ABED$ tego graniastosłupa?

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od $1000$ do $9999$. Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej $3$, jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym $200$ i kącie ostrym o mierze $30^\circ$.

Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości $x$ boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.

W pewnej grupie $100$ uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawiono na diagramie. Na osi poziomej podano dzienny czas korzystania z komputera wyrażony w godzinach, a na osi pionowej liczbę uczniów.