Matura podstawowa - grudzień 2024 - arkusz maturalny

Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x+4|=7$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma $x_1+x_2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\left(\sqrt[5]{5}\cdot\frac{1}{5}\right)^{-5}$ jest równa

Wykaż, że liczba $2^{100}+4^{49}+16^{24}$ jest podzielna przez $21$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ wartość wyrażenia $\log_7 x+6\log_7 y$ jest równa wartości wyrażenia

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę $60\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości $p\%$ w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.

Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa $67\,925{,}76$ zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-1)$, $0$ oraz $1$ wartość wyrażenia $$\frac{x}{x^2-1}:\frac{3x^2}{x+1}$$ jest równa wartości wyrażenia

Para liczb $x=-1$ i $y=6$ jest rozwiązaniem układu równań $$\begin{cases}ax+3y=20\\x+by=5\end{cases}$$ gdzie $a$ oraz $b$ są liczbami rzeczywistymi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $a\cdot b$ jest równa

Rozwiąż równanie

$$\frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2x-2}$$

Zapisz konieczne założenie i obliczenia.

Rozwiąż nierówność

$$x(x-6)\le 7$$

Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$$f(x)=\begin{cases}3 & \text{dla } x\in(-4,-2]\\-x+1 & \text{dla } x\in(-2,2]\\x-3 & \text{dla } x\in(2,4]\end{cases}$$

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ... .

2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ... .

3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne, jest przedział ... .

4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje największą wartość, jest przedział ... .

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest liczba $2$, a punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Oy$ kartezjańskiego układu współrzędnych $(x,y)$ ma współrzędne $(0,4)$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

1. Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji $f$, jest równy $(-2)$. P/F

2. Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $(x,y)$ oraz wykresem funkcji $f$ jest równe $8$. P/F

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $(3,0)$. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0,-9)$.

Funkcja logarytmiczna $f$ jest określona wzorem $f(x)=\log_6 x$ dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

1. Wartość funkcji $f$ dla argumentu $36$ jest równa $6$. P/F

2. Funkcja $f$ jest rosnąca. P/F

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3\cdot(-1)^n+10$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

1. Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny. P/F

2. Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $80$. P/F

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg $(5m,4+2m,m)$ jest arytmetyczny, gdy liczba $m$ jest równa

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, w którym $a_2=\frac{1}{6}$ oraz $a_3=\frac{1}{9}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|AC|=\sqrt{15}$ i $|BC|=8$. Na przyprostokątnej $AB$ leży taki punkt $D$, że $|BD|=6$.

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $7{,}5$. Krótsza przekątna $AC$ ma długość równą $6$ i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne.

Oblicz pole trapezu $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $6$. Miara kąta wpisanego $ACB$ jest równa $60^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość łuku $AB$, na którym oparty jest kąt wpisany $ACB$, jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(-2,-1)$ oraz $C=(3,4)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu $ABCD$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-7x+3$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$. Punkt o współrzędnych $(1,p)$ należy do prostej $l$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $p$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są cztery okręgi: $o_1$, $o_2$, $o_3$, $o_4$, o równaniach:

$$o_1:(x-1)^2+(y-2)^2=1$$ $$o_2:(x+1)^2+(y+2)^2=9$$ $$o_3:(x-3)^2+(y-4)^2=4$$ $$o_4:(x+3)^2+(y+4)^2=16$$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych $(x,y)$, jest

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości $4$. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem $\alpha$, że $\tan\alpha=3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość $p$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa

Objętość stożka o wysokości $2$ jest równa $8\pi$.

Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry $0$, $1$, $2$, $3$ (np. $12\ 303$, $11\ 111$), jest

Dane są dwa zbiory: $C=\{1,2,3,4,5,6\}$ oraz $D=\{7,8,9,10\}$. Losujemy jedną liczbę ze zbioru $C$, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru $D$.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez $4$. Zapisz obliczenia.

Do szkolnego koła czytelniczego należy $50$ uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie $2024$ roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa .......... .

2. Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa .......... .

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $AE$ jest $3$ razy dłuższa od krawędzi $AB$, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa $48$.

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.