Matura podstawowa - kwiecień 2022 - arkusz maturalny

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\log_7 98-\log_7 2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra $2$, jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wartość wyrażenia $(3+4a)^2-(3-4a)^2$ jest równa

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ

Dany jest wielomian $$W(x)=3x^3+kx^2-12x-7k+12$$ gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba $(-2)$ jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $$ \frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1{,}5)(x+6)}=0$$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych

Spośród rysunków A-D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:

$$|x+1|\le 2$$

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $n^2+2023$ jest podzielna przez $8$.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Dana jest funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji $f$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynniki $a$ i $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny $P$ swojego produktu na liczbę $Q$ kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o $1$ jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o $3$ jednostki. Ponadto przy cenie równej $5$ jednostek liczba kupujących jest równa $12$ jednostek.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór

Czas $T$ półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę - po przyjęciu jednorazowej dawki.

Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa $m$ leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą $$m(t)=m_0\cdot\left( \frac{1}{2}\right)^{ \frac{t}{T}}$$ gdzie: $m_0$ - masa przyjętej dawki leku, $T$ - czas półtrwania leku, $t$ - czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

W przypadku przyjęcia kilku dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.

Pacjent otrzymuje co $4$ dni o tej samej godzinie dawkę $m_0=100$ mg leku L. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy $T=4$ doby.

Klient wpłacił do banku $20\ 000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $3\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po $2$ latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie, bez uwzględniania podatków, jest równa

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=-3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=6$, $|BC|=5$, $|AC|=10$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dany jest okrąg o środku $S=(2,-5)$ i promieniu $r=3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie tego okręgu ma postać

Odcinki $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $O$. W trójkątach $ABO$ i $ODC$ zachodzą związki: $|AO|=5$, $|BO|=3$, $|OC|=10$, $|\angle OAB|=|\angle OCD|$ (zobacz rysunek).

Oblicz długość boku $OD$ trójkąta $ODC$. Zapisz obliczenia.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $$y=-3x+1$$

Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest kwadrat $ABCD$. Wierzchołki $A=(-2,1)$ i $C=(4,5)$ są końcami przekątnej tego kwadratu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej kwadratu $ABCD$ jest równa

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu $r=8$ (zobacz rysunek). Cięciwa $AC$ ma długość $8\sqrt{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $BAC$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $$4\operatorname{tg} \alpha=3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha$$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Dane są dwa trójkąty podobne $ABC$ i $KLM$ o polach równych - odpowiednio - $P$ oraz $2P$. Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $x$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Obwód trójkąta $KLM$ jest równy

ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy:

1. kwadratowi stosunku pól tych trójkątów.
2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów.
3. stosunkowi pól tych trójkątów.

Punkty $A$ oraz $B$ leżą na okręgu o środku $O$. Proste $k$ i $l$ są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - $A$ i $B$. Te proste przecinają się w punkcie $S$ i tworzą kąt o mierze $76^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $OBA$ jest równa

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt $ABCD$, w którym bok $BC$ odpowiada krawędzi rozcięcia, czyli wysokości graniastosłupa. Przekątna $AC$ tego prostokąta ma długość $16$ i tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCS$ o podstawie $ABC$. Punkty $D$, $E$ i $F$ są środkami - odpowiednio - krawędzi bocznych $AS$, $BS$ i $CS$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości ostrosłupa $DEFS$ do objętości ostrosłupa $ABCS$ jest równy

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$ (zobacz rysunek).

Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt $\alpha$ pomiędzy ścianą boczną $ACFD$ i przekątną $AE$ ściany bocznej $ABED$ tego graniastosłupa?

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od $1000$ do $9999$. Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej $3$, jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym $200$ i kącie ostrym o mierze $30^\circ$.

Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości $x$ boku równoległoboku.

Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.

W pewnej grupie $100$ uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażony w godzinach - dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.