Matura rozszerzona - maj 2018 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Rozwiąż równanie $3|x+2|=|x-3|+11$.

Liczby $a$, $b$, $c$, spełniające warunek $3a+b+3c=77$, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg $(a,b+1,2c)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a$, $b$, $c$ oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$, w którym $|AD|=|AB|=|BC|=a$, $|\angle BAD|=60^\circ$ i $|\angle ADC|=135^\circ$. Oblicz pole czworokąta $ABCD$.

Z liczb ośmioelementowego zbioru $Z=\{1,2,3,4,5,6,7,9\}$ tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy nie powtarzają się. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC|>|BC|$. Dwusieczna $d_C$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_A$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_C$ kąta $ACB$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_B$ kąta $ABC$.

Udowodnij, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $k^3m-km^3$ jest podzielna przez $6$.

Rozwiąż równanie $2\cos^2x+3\sin x=0$ w przedziale $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$.

Liczba $\frac{2}{5}$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=5x^3-7x^2-3x+p$. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność $W(x)>0$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2+(m+1)x-m^2+1=0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, gdzie $x_1\ne x_2$, spełniające warunek $x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2$.

Punkt $A=(7,-1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ ma równanie $x^2+y^2=10$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $S$ i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość $\frac{4\sqrt{3}}{3}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.