Matura rozszerzona - maj 2016 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Niech $\log_7 4=a$. Wyznacz $\log_{\sqrt{2}}49$ w zależności od $a$.

Wielomian $W(x)=2x^3+mx^2-22x+n$ jest podzielny przez każdy z dwumianów $x+3$ i $x-4$. Oblicz wartości współczynników $n$ i $m$ oraz rozwiąż nierówność $W(x)\ge 0$.

Rozwiąż równanie $-2\cos^2 x+3\sin x+3=0$ w przedziale $[0,2\pi]$.

Ciąg $(a,4,b,c)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(a,a+b,4c)$ jest geometryczny. Oblicz $a$, $b$ i $c$.

W trapezie równoramiennym $ABCD$, w którym $AB\parallel CD$, dane są $|AB|=84$, $|CD|=36$, $|BC|=|AD|=40$. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABP$, gdzie $P$ jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu.

Punkty $A=(1,1)$ i $B=(6,2)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$. Wysokości trójkąta $ABC$ przecinają się w punkcie $M=(3,3)$. Oblicz pole tego trójkąta.

Reszta z dzielenia liczby naturalnej $a$ przez $6$ jest równa $1$. Reszta z dzielenia liczby naturalnej $b$ przez $6$ jest równa $5$. Uzasadnij, że liczba $a^2-b^2$ jest podzielna przez $24$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ wysokość jest równa $5$, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $120^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dany jest okrąg o średnicy $AB$ i środku $S$ oraz dwa okręgi o średnicach $AS$ i $BS$. Okrąg o środku $M$ i promieniu $r$ ma z każdym z danych okręgów dokładnie jeden punkt wspólny. Wykaż, że $r=\frac16|AB|$.

W urnie znajduje się $20$ kul: $9$ białych, $9$ czerwonych i $2$ zielone. Z tej urny losujemy bez zwracania $3$ kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że co najmniej dwie z wylosowanych kul są tego samego koloru.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry $1$, $2$, $3$, przy czym cyfra $1$ występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest $15\ 360$.