Matura rozszerzona - maj 2014 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $$f(x)=\frac{|x+3|+|x-3|}{x}$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja kwadratowa $$f(x)=x^2-(2m+2)x+2m+5$$ ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ takie, że suma kwadratów odległości punktów $A=(x_1,0)$ i $B=(x_2,0)$ od prostej o równaniu $x+y+1=0$ jest równa $6$.

Rozwiąż równanie $$\sqrt{3}\cdot\cos x=1+\sin x$$ w przedziale $[0,2\pi]$.

Udowodnij, że dla każdych dwóch dodatnich liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $$\left(x+1\right)\frac{x}{y}+\left(y+1\right)\frac{y}{x}>2.$$

Dane są trzy okręgi o środkach $A$, $B$, $C$ i promieniach równych odpowiednio $r$, $2r$, $3r$. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie $K$, drugi z trzecim w punkcie $L$ i trzeci z pierwszym w punkcie $M$. Oblicz stosunek pola trójkąta $KLM$ do pola trójkąta $ABC$.

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $S$. Kąty wewnętrzne $\angle CAB$, $\angle ABC$ i $\angle BCA$ tego trójkąta są równe odpowiednio $\alpha$, $2\alpha$ i $4\alpha$. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych $\angle ASB$, $\angle ASC$ i $\angle BSC$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Ciąg geometryczny $(a_n)$ ma $100$ wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz $$\log a_1+\log a_2+\log a_3+\ldots+\log a_{100}=100.$$ Oblicz $a_1$.

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym $A=(0,2\sqrt{3})$, $B=(2,0)$, a punkt $C$ leży na osi $Ox$. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek $E$.

Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego $ABCS$, którego siatkę przedstawiono na rysunku.

Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru $m$, dla których równanie $$\left(x^3+2x^2+2x+1\right)\left[x^2-(2m+1)x+m^2+m\right]=0$$ ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.

Z urny zawierającej $10$ kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od $1$ do $10$ losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul.