Matura rozszerzona - maj 2009 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Funkcja liniowa $f$ określona jest wzorem $f(x)=ax+b$ dla $x\in\mathbb{R}$.

Przy dzieleniu wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-1)$ otrzymujemy iloraz $Q(x)=8x^2+4x-14$ oraz resztę $R(x)=-5$. Oblicz pierwiastki wielomianu $W(x)$.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ dla $x\in\mathbb{R}$.

W skarbcu królewskim było $k$ monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił $25$ monet, a każdego następnego ranka dorzucał o $2$ monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia $50$ monet. Oblicz najmniejszą liczbę $k$, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości $k$ oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

Wykaż, że jeżeli $A=3^{4\sqrt{2}+2}$ i $B=3^{2\sqrt{2}+3}$, to $B=9\sqrt{A}$.

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\log_{2\cos x}(9-x^2)$ i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.

Ciąg $(x-3,\ x+3,\ 6x+2,\ldots)$ jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że $\frac{S_{19}}{S_{20}}<\frac{1}{4}$, gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu.

Dwa okręgi o środkach $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy $3+2\sqrt{2}$.

W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-3)^2=4$ oraz zaznacz punkt $A=(0,-1)$. Prosta o równaniu $x=0$ jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt $A$. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt $A$.

W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od $\frac{9}{22}$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość $a$ i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.