Matura rozszerzona - grudzień 2009 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Na rysunku narysowano fragment wykresu funkcji $f(x)=2^{x-3}-b$ określonej dla $x\in\mathbb{R}$.

Rozwiąż nierówność $|x+3|+|3x+9|<|x+5|$.

Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu $y=x^2$, a drugi na prostej o równaniu $y=2x-6$. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od $\sqrt{5}$. Sporządź odpowiedni rysunek.

Oblicz prawdopodobieństwo $P(A'\cap B')$, jeśli $P(A')=\frac{1}{3}$, $P(B')=\frac{1}{4}$ i $P(A\cap B)=\frac{1}{2}$.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $h$ otrzymanego przez przesunięcie o wektor $[2,1]$ wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f(x)=\frac{a}{x}$ dla $x\in\mathbb{R}$ i $x\ne 0$.

Wyznacz wzór funkcji $h$, a następnie sprawdź, czy punkt $M=(\sqrt{3},-2\sqrt{3}-3)$ należy do jej wykresu.

Porównaj liczby $a^b$ oraz $b^a$, gdzie $$a=\left[\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right]^2,$$ $$b=\frac{81^{-1}\cdot\sqrt{3}}{27^{-2}\cdot\sqrt[4]{9}}.$$

Dane jest równanie $$(x+3)\left[x^2+(p+4)x+(p+1)^2\right]=0$$ z niewiadomą $x$.

Trapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa $30$. Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia. Wyznacz dziedzinę tej funkcji.

Środek okręgu przechodzącego przez punkty $A=(1,4)$ i $B=(-6,3)$ leży na osi $Ox$.

Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba $1$ tworzą ciąg geometryczny. Oblicz sinus najmniejszego kąta tego trójkąta.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą długość. Zaznacz na rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz kosinus tego kąta.