Matura rozszerzona - maj 2008 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Wielomian $f$, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku, spełnia warunek $f(0)=90$. Wielomian $g$ dany jest wzorem $g(x)=x^3-14x^2+63x-90$. Wykaż, że $g(x)=-f(-x)$ dla $x\in\mathbb{R}$.

Rozwiąż nierówność $$|x-2|+|3x-6|<|x|.$$

Liczby $x_1=5+\sqrt{23}$ i $x_2=5-\sqrt{23}$ są rozwiązaniami równania $$x^2-(p^2+q^2)x+(p+q)=0$$ z niewiadomą $x$. Oblicz wartości $p$ i $q$.

Rozwiąż równanie $$4\cos^2 x=4\sin x+1$$ w przedziale $[0,2\pi]$.

Dane jest równanie $$\left|\frac{2}{x}+3\right|=p$$ z niewiadomą $x$. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru $p$.

Udowodnij, że jeżeli ciąg $(a,b,c)$ jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to $a=b=c$.

Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu $$y=\frac{1}{4}x^2+1$$ jest równoodległy od osi $Ox$ i od punktu $F=(0,2)$.

Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu $$(x-16)^2+y^2=4$$ jest okrąg o równaniu $$(x-6)^2+(y-4)^2=16,$$ a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.

Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji $$f(x)=\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(8x-x^2).$$

Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety, jest równe $0{,}1$. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: $H$ - wysokość ostrosłupa oraz $\alpha$ - miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy, przy czym $45^\circ<\alpha<90^\circ$.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątne mają długości $|BC|=9$ i $|CA|=12$. Na boku $AB$ wybrano punkt $D$ tak, że odcinki $BC$ i $CD$ mają równe długości. Oblicz długość odcinka $AD$.