Matura rozszerzona - grudzień 2006 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Funkcja homograficzna $f$ jest określona wzorem $$f(x)=\frac{px-3}{x-p},$$ gdzie $p\in\mathbb{R}$ jest parametrem i $|p|\neq\sqrt{3}$.

Wyznacz wszystkie wartości $k\in\mathbb{R}$, dla których pierwiastki wielomianu

$$W(x)=(x^2-8x+12)\cdot(x-k)$$

są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej $f$.

Rozwiąż równanie

$$(f(x))^2-16=0.$$

Trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle BCA|=90^\circ$ i $|\angle CAB|=30^\circ$, jest opisany na okręgu o promieniu $\sqrt{3}$. Oblicz odległość wierzchołka $C$ trójkąta od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.

Sporządź wykres funkcji $f$ danej wzorem

$$f(x)=2|x|-x^2,$$

a następnie, korzystając z niego, podaj wszystkie wartości $x$, dla których funkcja $f$ przyjmuje maksima lokalne, i wszystkie wartości $x$, dla których przyjmuje minima lokalne.

Podstawa $AB$ trapezu $ABCD$ jest zawarta w osi $Ox$, a wierzchołek $D$ jest punktem przecięcia paraboli o równaniu

$$y=-\frac{1}{3}x^2+x+6$$

z osią $Oy$. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej paraboli. Oblicz pole tego trapezu.

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania

$$2\cos^2x=\cos x$$

należące do przedziału $[0;\ 2\pi]$.

Uczeń analizował własności funkcji $f$, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodną $f'(x)$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$. Wyniki analizy zapisał w tabeli.

Wpisując znaki pochodnej, uczeń popełnił jeden błąd.

Niech $A\subset\Omega$ i $B\subset\Omega$ będą zdarzeniami losowymi. Mając dane

$$P(A)=0{,}5,\qquad P(B)=0{,}4,\qquad P(A\setminus B)=0{,}3,$$

zbadaj, czy $A$ i $B$ są zdarzeniami niezależnymi.

Ciąg liczbowy $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ wzorem

$$a_n=(n-3)(2-p^2),$$

gdzie $p\in\mathbb{R}$.

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej $n>1$ największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność

$$x^2-3nx+2n^2<0$$

o niewiadomej $x$. Wyznacz wzór funkcji $f$.

Dwa okręgi, każdy o promieniu $8$, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury.

Wyznacz dziedzinę funkcji $$f(x)=\log_x\left(4^x-12\cdot2^x+32\right).$$

Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, że bok pierwszego trójkąta ma długość $a$, gdzie $a>0$.

Rozwiąż równanie: $$\frac{1}{\sin x}+\operatorname{ctg}x+\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=0.$$

Para $(\Omega,P)$ jest przestrzenią probabilistyczną, a $A\subset\Omega$ i $B\subset\Omega$ są zdarzeniami niezależnymi. Wykaż, że jeżeli $P(A\cup B)=1$, to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym, to znaczy $P(A)=1$ lub $P(B)=1$.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji $f$.

Punkty $A=(7,8)$ i $B=(-1,2)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $\angle BCA=90^\circ$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa $a$. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę $45^\circ$. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

Ciąg $(a_n)$ określony jest rekurencyjnie w następujący sposób: $$\begin{cases}a_1=2,\\a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}\quad\text{dla każdego }n\geq1.\end{cases}$$ Wykaż, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że ciąg $(a_n)$ można określić za pomocą wzoru ogólnego $$a_n=\frac{2}{2n-1},\qquad n\geq1.$$