Matura rozszerzona – maj 2005 – zadanie 15

W dowolnym trójkącie $ABC$ punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami boków $AC$ i $BC$.

Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem.

Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości: $$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN} \qquad (1)$$ oraz $$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}. \qquad (2)$$ Po dodaniu równości $(1)$ i $(2)$ stronami otrzymujemy: $$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}.$$ Ponieważ $\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MA}$ oraz $\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{BN}$, więc: $$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB},$$ czyli $$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$$ Ostatnią równość można zinterpretować następująco: odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, a jego długość jest równa połowie długości tego boku.

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek między wektorem $\overrightarrow{MN}$ oraz wektorami $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{DC}$, wiedząc, że czworokąt $ABCD$ jest dowolnym trapezem, a punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami ramion $AD$ i $BC$ tego trapezu.

Podaj interpretację otrzymanego wyniku.