Matura rozszerzona - maj 2005 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\log_{x^2-3}(x^3+4x^2-x-4)$ i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.

Dana jest funkcja $f(x)=\cos x-\sqrt{3}\sin x$, gdzie $x\in\mathbb{R}$.

Rzucamy $n$ razy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich $n$ prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest mniejsze od $\frac{671}{1296}$.

Oblicz: $$\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\ldots+(3n-2)}{5+7+9+\ldots+(2n+3)}.$$

W dowolnym trójkącie $ABC$ punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami boków $AC$ i $BC$.

Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem.

Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości: $$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN} \qquad (1)$$ oraz $$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}. \qquad (2)$$ Po dodaniu równości $(1)$ i $(2)$ stronami otrzymujemy: $$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}.$$ Ponieważ $\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MA}$ oraz $\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{BN}$, więc: $$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB},$$ czyli $$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$$ Ostatnią równość można zinterpretować następująco: odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, a jego długość jest równa połowie długości tego boku.

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek między wektorem $\overrightarrow{MN}$ oraz wektorami $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{DC}$, wiedząc, że czworokąt $ABCD$ jest dowolnym trapezem, a punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami ramion $AD$ i $BC$ tego trapezu.

Podaj interpretację otrzymanego wyniku.

Sześcian o krawędzi długości $a$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem $\frac{\pi}{3}$. Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że liczba $$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$$ jest całkowita.

Pary liczb $(x,y)$ spełniające układ równań: $$\begin{cases}-4x^2+y^2+2y+1=0,\\-x^2+y+4=0\end{cases}$$ są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego $ABCD$.

Dane jest równanie: $$x^2+(m-5)x+m^2+m+\frac{1}{4}=0.$$ Zbadaj, dla jakich wartości parametru $m$ stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.